Що таке множина Мандельброта?

Множина Мандельброта — це множина комплексних чисел c, для яких ітерація z_{n+1} = z_n² + c залишається обмеженою. Точки всередині зафарбовуються чорним; точки зовні — за часом виходу, показуючи фрактальну межу.

Як перетворення Фур'є розкладає сигнал?

Перетворення Фур'є виражає будь-яку функцію як суму синусів і косинусів різних частот. Симуляція дозволяє інтерактивно додавати гармоніки та спостерігати реконструкцію сигналу в реальному часі.

Що таке L-системи?

Системи Ліндемайера — граматики перепису рядків, що генерують складні фрактальні рослинні форми з кількох простих правил. Одне правило типу F→F[+F]F[-F]F дає реалістично схоже дерево після п'яти ітерацій.

Математика — 3D Симуляції

Симуляції категорії

Активні симуляції

Фрактальна геометрія — об'єкти самоподібної структури, що повторюються на кожному рівні масштабу. Множина Мандельброта, папороть Барнслі та трикутник Серпінського породжуються надзвичайно простими ітераційними правилами.

Нове ★★★★ Складне

Дзета-функція Рімана

Візуалізуйте дзета-функцію Рімана на комплексній площині: розфарбовуйте область ζ(s), пройдіть критичною лінією Re(s)=½ й дивіться, як |ζ| падає до…

Riemann zeta complex analysis critical line

🌹

★☆☆ Легке

Троянди (родонеї)

Полярні троянди r = a·cos(kθ): непарне k дає k пелюсток, парне — 2k. Раціональне k = n/d утворює складні візерунки.

Полярні криві Тригонометрія Canvas 2D

➿

★★☆ Середнє

3D криві Ліссажу

Три перпендикулярні осцилятори, сплетені в обертову 3D криву. Малі взаємно прості відношення замикаються у вузли.

Ліссажу 3D-проєкція Canvas 2D

🌀

★★☆ Середнє

Гіпоциклоїди та епіциклоїди

Коло котиться всередині або зовні нерухомого кола, креслячи криві-рулети — дельтоїду, астроїду, кардіоїду, нефроїду. Вістря = R/НСД(R,r).

Параметричні криві Рулети Canvas 2D

🪻

★★★ Складне

Фрактал методу Ньютона

Кожен піксель ітерує метод Ньютона у ℂ до кореня й забарвлюється за тим, у який басейн він потрапляє. Змінюйте многочлени та наближайте межу фракталу.

Фрактал Басейни притягання Canvas 2D

🌌

★★★ Складне

Мандельбульб — 3D-фрактал

Реального часу 3D Мандельбульб, raymarching на GPU з чесним оцінювачем відстані de = 0.5·log(r)·r/dr. Зсувайте степінь n для морфування оболонки, налаштовуйте ітерації та палітри.

Three.js GLSL Raymarching Фрактал

🌀

★★★ Складне

Епіцикли Фур'є

Намалюйте будь-яку замкнену фігуру та дивіться, як ланцюг обертових кіл її відтворює. Радіуси, частоти й фази беруться з комплексного ДПФ вашого шляху — ряд Фур'є наочно.

Canvas 2D Фур'є ДПФ Епіцикли

🌀

★★★ Складне

Криві, що заповнюють простір

Криві Гільберта, Пеано та Мортона (Z-порядок), що заповнюють площину. Розфарбування за позицією на шляху показує, як Гільберт зберігає локальність краще за Z-порядок; відображення 1D↔2D.

Canvas 2D Гільберт Фрактал Локальність

🔢

★★★ Складне

Спіраль Улама — патерни простих

Цілі числа на квадратній спіралі з позначеними простими — виникають разючі діагоналі. Підсвічуйте прості-багаті многочлени як n²+n+41, спробуйте спіраль Сакса, дивіться розклад клітинки.

Canvas 2D Прості числа Теорія чисел Решето

🔬

Готово ★★★ Складне

Fractal Explorer

Множина Мандельброта та множина Джулії з GLSL-шейдерами та smooth colouring. Панорамування, зум, перемикання між режимами у реальному часі.

WebGL2 GLSL Фрактал GPU

🌿

Нове ★☆☆ Легке

Папороть Барнслі

Нескінченна папороть, згенерована чотирма афінними перетвореннями методом Гри в Хаос (IFS). Пресети: Класична, Чорний мох, Змінена, Кленовий лист. Кольорування за індексом перетворення.

IFS Фрактал Гра в хаос Природа

🔺

Нове ★☆☆ Легке

Трикутник Серпінського

Два методи: Гра в Хаос та рекурсивний поділ. Розмірність Хаусдорфа ≈ 1.585. Панорамування, зум, кольорові схеми.

Canvas 2D Рекурсія Гра в хаос

🟦

Нове ★★☆ Середнє

1D Клітинний автомат — Wolfram

Всі 256 правил Wolfram — Rule 30 (хаос), Rule 90 (Трикутник Серпінського), Rule 110 (Тюрінг-повний). Тогли бітів для власних правил.

Canvas 2D Wolfram Клітинні автомати

🔢

Нове ★★☆ Середнє

Спіралі чисел

Спіраль Улама простих чисел. Спіраль Сакса. Візуалізація числових послідовностей у полярних координатах.

WebGL Теорія чисел Прості числа

🔮

Нове ★☆☆ Легке

Калейдоскоп

Малюй в одному секторі — і малюнок дзеркально відобразиться у N-кутній симетрії. Вибери 3-, 4-, 6-, 8- або 12-променеві візерці. Збережи як PNG!

Canvas 2D Симетрія Мистецтво

🌳

Нове ★★☆ Середнє

Дерево Піфагора

Рекурсивне фрактальне дерево за теоремою Піфагора. Змінюй кут гілок, глибину і нахил. Дивись, як воно росте з анімацією!

Canvas 2D Фрактал Рекурсія

🔷

Нове ★★★ Складне

Діаграма Вороного

Інтерактивна тесселяція Вороного з алгоритмом Ллойда. Евклідова, Манхеттенська та метрика Чебишева.

Canvas 2D Voronoi Тесселяція Геометрія

🎲

Нове ★★☆ Середнє

Випадкове Блукання

Симуляція броунівського руху. Гаусів, польоти Леві та ґраткове блукання. Закон √t зміщення у дії.

Canvas 2D Броунівський рух Стохастика Дифузія

🌐

★★☆ Середнє

Геодезичні куполи

Поділ ікосаедра, октаедра і тетраедра на сферу з частотами 1v–5v. Геометрія Бакмінстера Фуллера zформулою Ейлера.

Three.js Geodesic Buckminster Euler

🗺️

★★☆ Середнє

Сферичні проєкції

Меркатор, Мольвайде, азимутальна, синусоїдальна та рівнокутна проєкції. Індикатриси Тіссо показують спотворення площі і форми в кожній точці.

Canvas 2D Cartography Тіссо Mollweide

📈

Нове ★★☆ Середнє

Ряди Тейлора

Спостерігайте, як часткові суми ряду Тейлора/Маклорена наближаються до sin, cos, exp, ln та інших. Анімуйте додавання доданків і досліджуйте радіус збіжності.

Ряди Тейлора Математичний аналіз Збіжність

🔢

Нове ★☆☆ Легке

Гіпотеза Коллатца

Досліджуйте послідовності злеготу 3n+1, теплові карти часів зупинки та дерево Коллатца — усе навколо нерозв'язаної задачі теорії чисел.

3n+1 Теорія чисел Час зупинки

∫

Нове ★☆☆ Легке

Інтеграл Рімана

Візуалізуйте суми Рімана (ліве, праве, серединне, трапеція, Сімпсон) що збігаються до точного інтегралу. До 200 підрозділів.

Математичний аналіз Чисельне інтегрування Правило Сімпсона

∞

Нове ★☆☆ Легке

Стрічка Мебіуса

Перетягніть для обертання 3D стрічки Мебіуса. Простежте шлях, щоб довести одну сторону, змінюйте напівоберти, досліджуйте топологію.

Топологія Однобічна поверхня Неорієнтовна

⬜

★☆☆ Легке Нове

Матричні Перетворення

Редагуйте матрицю 2×2 і дивіться, як вона розтягує, обертає, зсуває та відображає сітку. Власні вектори, еліпс одиничної окружності, визначник, 8 пресетів.

Лінійна алгебра Власне значення Визначник

🎯

Готово★★☆ Помірне Нове

Криві Безьє

Перетягуйте контрольні точки для побудови кривих Безьє (ступеня 1–5) за алгоритмом де Кастельжо. Анімація побудови та порівняння з B-сплайном.

Canvas 2D Де Кастельжо Сплайн

🎵

Нове ★★☆ Середнє

Візуалізатор ДПФ та ЧДПФ

Генеруйте сигнали і спостерігайте їхні перетворення Фур'є в реальному часі. Перемикайтесь між спектром магнітуд ДПФ і спектрограмою ЧДПФ, щоб побачити, як part frequency змінюється з часом.

Перетворення Фур'є Спектрограма Обробка сигналів

🫧

★★★ Складне

Мильна Бульбашка

Симулюйте мильні плівки що знаходять мінімальні поверхні. Катеноїд, геліоїд, сідлові поверхні.

Мінімальні поверхні Плато Canvas 2D

🔳

★★☆ Середнє

3D Клітинний Автомат

Досліджуйте 3D клітинні автомати з оточенням Мура. Правила: Хмара, Кристал, Амеба.

Клітинні автомати WebGL Воксель

🔮

★★★ Складне

Замощення Гіперболічної Геометрії

Замощення диска Пуанкаре правильними {p,q} плитками. Перетворення Мебіуса відображають плитки. Всі п...

Гіперболічна геометрія Диск Пуанкаре Замощення

🔢

★★★ Складне

Ультраметричний Простір p-адичних Чисел

Візуалізуйте p-адичні числа як фрактальне дерево. p-адична відстань |x-y|_p = p^{-v_p(x-y)}. Близькі...

p-адичні числа Ультраметрика Теорія чисел

🔷

★★☆ Середнє

Розподіл і Пропуски Простих Чисел

Візуалізуйте розподіл простих чисел: спіраль Улама, гістограма пропусків між простими та теорема Чеб...

Прості числа Спіраль Улама Теорія чисел

📉

★★★ Складне

Функція Вейєрштрасса — Ніде не Диференційовна

Функція Вейєрштрасса W(x) = Σ aⁿ·cos(bⁿπx) є неперервною скрізь, але не має похідної ніде при ab > 1...

Вейєрштрасс Фрактал Аналіз

coloring у GLSL. → Стаття Клітинні автомати Вольфрама Класи складності I–IV. Правило 110 і Тюрінг-повнота. Тотальний CA у 2D. → Стаття Числа та спіралі: теорія чисел у пікселях Решето Ератосфена. Спіраль Улама. Секвенція Фібоначчі та золотий кут. →

Всі матеріали →

Ключові Концепції

Теми та алгоритми, які ви досліджуєте в цій категорії

ФракталиСамоподібні структури з нецілочисельною розмірністю Гаусдорфа

Аналіз Фур'єРозкладання сигналів на синусоїдальні компоненти

L-СистемиГраматика Ліндемайера для ботанічної та фрактальної геометрії

Клітинні АвтоматиПравило-110 та 1D автомати — класи Вольфрама

Теорія ЧиселПростові спіралі, спіраль Улама, числові послідовності

Ітеративні ВідображенняМножина Мандельброта, множини Жюліа, фрактали Ньютона

📐 Перевір свої знання з математики

5 запитань — фрактали, Фур'є, числа та більше

Часті Запитання

Поширені запитання про цю категорію симуляцій

Що таке множина Мандельброта?: Множина Мандельброта — це множина комплексних чисел c, для яких ітерація z_{n+1} = z_n² + c залишається обмеженою. Точки всередині зафарбовуються чорним; точки зовні — за часом виходу, показуючи фрактальну межу.
Як перетворення Фур'є розкладає сигнал?: Перетворення Фур'є виражає будь-яку функцію як суму синусів і косинусів різних частот. Симуляція дозволяє інтерактивно додавати гармоніки та спостерігати реконструкцію сигналу в реальному часі.
Що таке L-системи?: Системи Ліндемайера — граматики перепису рядків, що генерують складні фрактальні рослинні форми з кількох простих правил. Одне правило типу F→F[+F]F[-F]F дає реалістично схоже дерево після п'яти ітерацій.

Про Симуляції Математики

Перетворення Фур’є, фрактали, прості спіралі та обчислення — анімовані

Математичні симуляції перетворюють абстрактні рівняння на живі візуалізації. Перетворення Фур’є розкладає будь-який сигнал на суму синусоїд. Фрактали показують нескінченну складність з простих ітерацій.

Прості числа візуалізуються на спіралях Улама та полярних діаграмах, виявляючи несподівані закономірності. Диференціальне та інтегральне числення оживає через інтерактивні графіки.

Кожна симуляція побудована з акцентом на візуальну інтуїцію. Математичні об’єкти візуалізовані відповідно до стандартів, прийнятих в академічній математиці.

Інші категорії

Кожна математична симуляція в цій колекції працює безкоштовно прямо у вашому браузері — без встановлення та реєстрації. Використовуйте будь-яку інтерактивну математичну модель, щоб вивчати математику онлайн у власному темпі: наближайте межі фракталів, розкладайте сигнали за допомогою аналізу Фур'є чи досліджуйте патерни простих чисел і топологію. Ці самі методи лежать в основі реальних застосувань — стиснення зображень JPEG, медичної МРТ-візуалізації, комп'ютерної графіки та алгоритмів машинного навчання, — показуючи, як математика, яку ви тут бачите, живить технології довкола нас. Додайте сторінку в закладки й експериментуйте з параметрами далі.