UK 
EnglishТипова
Polski🎵 Візуалізатор ДПФ та ВКПФ
Генеруйте сигнали й дивіться їхні перетворення Фур'є наживо: спектр ДПФ і спектрограма ВКПФ показують, як частоти змінюються в часі. Синус, акорд, чирп, AM і шум.
Схожі симуляції
Про Візуалізатор ДПФ / ВКПФ
Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) розкладає скінченну послідовність з N відліків на N комплексних частотних складових: Xₖ = Σₙ xₙ · e^(−2πikn/N) для k = 0 … N−1. Воно виявляє, які частоти присутні в сигналі, але припускає, що весь сигнал стаціонарний — не показує, коли частота з'являється. Віконне перетворення Фур'є (ВКПФ) вирішує це, обчислюючи ДПФ на послідовних вікнах, що перекриваються, утворюючи 2D-спектрограму час-частота. Компроміс фундаментальний: вузьке вікно дає гарну роздільність за часом, але погану за частотою (принцип невизначеності: Δt · Δf ≥ 1/4π), а широке вікно — навпаки.
Симулятор дозволяє намалювати хвилю або завантажити аудіозапис, а потім спостерігати за оновленням спектра ДПФ і спектрограми ВКПФ у реальному часі. Можна налаштувати віконну функцію (Ханн, Хеммінг, прямокутне) і відсоток перекриття, щоб побачити, як вони обмінюють роздільність за часом на роздільність за частотою.
Часті запитання
У чому різниця між ДПФ і ШПФ?
ДПФ — це саме математичне перетворення; ШПФ (швидке перетворення Фур'є) — ефективний алгоритм для його обчислення. Наївне обчислення ДПФ вимагає O(N²) множень; алгоритм Кулі-Тюкі, опублікований 1965 р., зводить це до O(N log N) завдяки симетрії комплексних експонент. ШПФ вважають одним з найважливіших алгоритмів XX століття.
Що таке спектрограма і як її читати?
Спектрограма — це 2D-графік ВКПФ: час на горизонтальній осі, частота на вертикальній, а колір або яскравість відображають величину (або лог-величину в дБ) у кожній комірці час-частота. Горизонтальні смуги вказують на стійкі тони; вертикальні — на короткі клацання; діагональні — на частотні розгортки (чирпи). Спектрограми мовлення показують форманти — темні горизонтальні смуги, що кодують голосні звуки та дозволяють автоматичне розпізнавання мовлення.
Чому не можна мати ідеальну роздільність за часом і частотою одночасно?
Це принцип невизначеності час-частота: Δt · Δf ≥ 1/(4π), де Δt — тривалість вікна, а Δf — ширина смуги результуючої частотної характеристики. Вузьке вікно локалізує події в часі (мале Δt), але розмиває спектр (велике Δf), і навпаки. Гаусове вікно досягає мінімального добутку невизначеності, тому його використовують у вейвлет-аналізі та перетвореннях Габора.
Що таке віконні функції і навіщо вони потрібні?
Коли беруть ДПФ скінченного блоку відліків, сигнал неявно множиться на прямокутне вікно — різко обрізаючи його на краях. Це створює спектральне протікання: різкі краї вносять хибні частотні складові, що розповсюджують енергію сильних тонів на сусідні комірки. Функції на кшталт Ханна, Хеммінга, Блекмана чи Кайзера плавно зводять сигнал до нуля на краях, зменшуючи протікання ціною ширшої головної пелюстки.
Що таке теорема Найквіста?
Теорема Найквіста-Шеннона стверджує, що сигнал без частот вище fₘₐₓ можна ідеально відновити з відліків, узятих зі швидкістю щонайменше 2fₘₐₓ (частота Найквіста). Дискретизація нижче цієї швидкості спричиняє накладання спектрів: високочастотні складові згортаються назад і з'являються як фантомні низькочастотні сигнали. Аудіо CD використовують частоту дискретизації 44 100 Гц, щоб охопити частоти до 22 050 Гц.
У чому різниця між амплітудою і фазою в ДПФ?
Кожен коефіцієнт ДПФ Xₖ — комплексне число з амплітудою |Xₖ| (наскільки сильно присутня частота k) і фазою arg(Xₖ) (часовим зсувом цієї частотної складової відносно початку вікна). Спектрограми зазвичай показують лише |Xₖ|² (спектр потужності), бо фазу важко інтерпретувати візуально. Проте фаза критична для відновлення сигналу: обернене ДПФ потребує і амплітуди, і фази.
Як ВКПФ використовується у стисненні аудіо?
Кодеки MP3 і AAC використовують модифіковану версію ВКПФ — модифіковане дискретне косинусне перетворення (MDCT) — для переведення аудіо в частотну область. Потім застосовується психоакустичне маскування: гучні тони маскують сусідні тихіші, тож біти перерозподіляються з замаскованих частот на чутні. Розмір кадру MDCT адаптується динамічно — довший для стаціонарних сигналів, коротший для перехідних.
Який зв'язок між ВКПФ і вейвлетами?
Обидва перетворення аналізують сигнал у декількох точках часу, але по-різному покривають площину час-частота. ВКПФ використовує вікно фіксованого розміру, даючи однакову роздільність за часом і частотою на всіх масштабах. Вейвлет-перетворення використовує вікно, що масштабується з частотою: ширші вікна для низьких частот (гарна роздільність за частотою), вужчі — для високих (гарна роздільність за часом).
Що таке доповнення нулями (zero-padding) при обчисленні ДПФ?
Доповнення нулями означає додавання нулів до сигналу перед обчисленням ДПФ, збільшуючи N без додавання нової інформації. Це інтерполює частотний спектр — вихідні комірки стають щільнішими за частотою — роблячи спектральні піки помітнішими. Проте це не покращує справжню частотну роздільність, яка визначається реальною довжиною сигналу, а не доповненою.