UK 
EnglishТипова
Polski∫ Інтеграл Рімана
Інтеграл Рімана наочно: ліві, праві, серединні прямокутники й трапеції сходяться до точного значення зі зростанням N.
Про цю симуляцію
Цей симулятор візуалізує, як суми Рімана наближають визначений інтеграл ∫ab f(x) dx, розбиваючи відрізок [a, b] на n смуг однакової ширини, Δx = (b−a)/n, і підсумовуючи площу прямокутника або трапеції, побудованих на кожній смузі. Реалізовано п'ять правил вибірки: ліве (висота f(xᵢ)), праве (f(xᵢ₊₁)), серединне (f у центрі смуги), трапецієподібне (середнє двох висот на кінцях) та правило Сімпсона, яке проводить параболу через ліву точку, середину та праву точку кожної пари смуг. Коли ви змінюєте функцію, інтервал, кількість поділів n або правило, канвас у реальному часі перемальовує заштриховані смуги, а панель нижче показує наближену суму, точний інтеграл у замкненій формі та абсолютну похибку між ними.
Що показує: Динамічну збіжність п'яти правил сум Рімана (ліве, праве, серединне, трапецієподібне, Сімпсона) до точного визначеного інтеграла обраної функції на [a, b], причому числова похибка зменшується зі зростанням кількості поділів n.
Як користуватися: Оберіть функцію зі спадного списку, перетягніть повзунки a / b, щоб задати інтервал, оберіть правило вибірки на вкладках, а потім перетягніть повзунок n — спостерігайте, як заштриховані смуги щільніше прилягають до кривої, а значення похибки падає.
Чи знали ви? Правило Сімпсона проводить параболу лише через три точки вибірки на пару смуг, але при цьому точно інтегрує будь-який кубічний поліном — додаткова точність, яка коштує майже нічого порівняно зі звичайним трапецієподібним правилом.
Часті запитання
Що таке сума Рімана?
Сума Рімана оцінює площу під кривою f(x) на інтервалі [a, b], розбиваючи цей інтервал на n смуг однакової ширини Δx = (b−a)/n, обираючи висоту вибірки для кожної смуги та підсумовуючи отримані площі прямокутників (або трапецій). Зі зростанням n і зменшенням Δx сума збігається до точного визначеного інтеграла ∫ab f(x) dx — цей симулятор дозволяє спостерігати цю збіжність одразу для кількох функцій і правил вибірки.
У чому різниця між лівим, правим і серединним правилами?
Усі три будують один прямокутник на смугу, але вибирають f(x) у різній точці: ліве правило використовує висоту в початковій точці смуги, праве — висоту в кінцевій точці, а серединне — висоту в центрі смуги. Для монотонної функції ліве й праве правила послідовно завищують або занижують справжню площу з протилежних боків, тоді як похибки серединного правила з обох боків смуги переважно скасовують одна одну, тому воно помітно точніше при тому самому n.
Чому правило Сімпсона точніше за інші?
Правило Сімпсона наближає кожну пару смуг параболою, що проходить через її ліву точку, середину та праву точку, замість пласкої чи лінійної верхівки. Оскільки парабола може відповідати кривизні функції, а не лише її нахилу, правило Сімпсона точно інтегрує будь-який поліном до третього степеня включно, і його похибка зменшується значно швидше за інші правила зі зростанням n, що можна перевірити, порівнюючи показник Error для різних методів при однаковому n.
Що насправді контролює повзунок кількості поділів n?
Він задає, на скільки смуг однакової ширини розбивається інтервал [a, b], причому ширина кожної смуги обчислюється як Δx = (b−a)/n. У цьому симуляторі n може змінюватися від 1 до 200: при малих n ви бачите кілька грубих прямокутників, які явно не відповідають формі кривої, а при великих n смуги стають настільки тонкими, що для гладкої функції заштрихована область візуально зливається зі справжньою площею під кривою.
Чому похибка зменшується зі зростанням n?
Коли Δx = (b−a)/n стає меншим, кожна смуга охоплює коротшу, більш пряму ділянку кривої, тож вибрана висота краще відповідає справжній середній висоті смуги. Швидкість збіжності залежить від правила: ліва й права суми збігаються приблизно пропорційно Δx, серединне та трапецієподібне — приблизно пропорційно Δx у квадраті, а правило Сімпсона для гладких функцій — приблизно пропорційно Δx у четвертому степені, тому саме через це збільшення повзунка n зменшує похибку Сімпсона значно швидше, ніж ліву чи праву суми.