➿ 3D Ліссажу
Вузли гармонічних осциляторів
a : b : c = 3 : 2 : 1
Замкнена: так
Пресети
Частоти
Фази (×π)
Відображення
Довжина сліду
Колір
Вид
Статистика
Відношення
3:2:1
Вимір
3D
Довідка та теорія

Фігура Ліссажу — це траєкторія, яку креслить точка, коли поєднуються два перпендикулярні коливання різної частоти. У трьох вимірах ми додаємо третю вісь, отримуючи гармонічний вузол, сплетений у просторі.

Параметричні рівняння

x = A·sin(a·t + δx)
y = B·sin(b·t + δy)
z = C·sin(c·t + δz),   t ∈ [0, 2π]

Хмара точок обертається у 3D і проєктується на екран простою перспективною камерою; точки, що далі від вас, малюються тьмянішими, щоб передати глибину.

Осцилоскопічний XY-режим

Встановіть c = 0, і фігура згортається у плоску 2D криву Ліссажу — саме те, що показує осцилоскоп, коли два сигнали керують його X- та Y-пластинами. Відношення частот і фаза визначають петлі, які ви бачите.

Замикання у вузли

Коли a : b : c — малі взаємно прості цілі числа, крива замикається після одного періоду в охайну ґратку або вузол. Якщо вони мають спільний дільник, відношення скорочується; ірраціональні відношення ніколи не замикаються і щільно заповнювали б куб.

Биття та фаза

  • Майже однакові частоти створюють повільні биття — фігура наче обертається й дихає.
  • Зсуви фази δ обертають і нахиляють петлі; відношення 1:1 проходить від лінії до кола й еліпса, коли δ змінюється від 0 до π/2.
  • Це та сама математика, що й за гармонографом, де гойдання маятників креслить згасаючі візерунки Ліссажу.

Про цю симуляцію

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

Оновлено: 5 липня 2026 р.

Ця симуляція малює 3D криву Ліссажу — три перпендикулярні синусоїдальні осцилятори по осях x, y та z, сплетені в єдину просторову криву, яку можна обертати мишею. Змінюйте відношення частот a:b:c та фазові зсуви δx, δy, δz, і спостерігайте, як взаємно прості цілі числа замикають криву в охайну ґратку чи гармонічний вузол, тоді як c = 0 згортає фігуру у знайому плоску 2D криву Ліссажу — той самий візерунок, що показує осцилоскоп в XY-режимі.

🔬 Що демонструє

Три координати точки задаються рівняннями x = A·sin(a·t + δx), y = B·sin(b·t + δy), z = C·sin(c·t + δz) для t від 0 до 2π. Хмара точок обертається у 3D і проєктується на екран простою перспективною камерою; точки, що далі від глядача, малюються тьмянішими, щоб передати глибину. Коли a:b:c — малі взаємно прості цілі числа, крива замикається після одного періоду; ірраціональні відношення ніколи не замкнулися б і щільно заповнювали б куб.

🎮 Як користуватися

Обирайте готові пресети (Трилисник, Ґратка, Плетиво, Вісімка, XY 2:1, Коло) або задавайте частоти a, b, c повзунками (0–8) і фазові зсуви δx, δy, δz (у кратних π) самостійно. Перемикайте режим відображення між лінією та точками, обирайте колірну схему, довжину сліду в зразках, а також вмикайте автообертання або перетягуйте фігуру мишею чи пальцем для ручного огляду. Кнопка «Зберегти PNG» експортує поточний кадр.

💡 Чи знали ви?

Якщо встановити c = 0, 3D-вузол згортається в плоску фігуру Ліссажу — саме те, що бачить інженер на екрані осцилоскопа, коли два сигнали керують X- та Y-пластинами. Це та сама математика, що лежить в основі гармонографа: механічного пристрою з маятниками, гойдання яких креслить згасаючі візерунки Ліссажу пером на папері.

Поширені запитання

Що таке крива Ліссажу і чим 3D-версія відрізняється від 2D?

Фігура Ліссажу — це траєкторія, яку креслить точка, коли поєднуються два перпендикулярні коливання різної частоти. У тривимірній версії додається третя вісь z із власною частотою c та фазою, тому замість плоскої петлі виходить гармонічний вузол, сплетений у просторі, який можна обертати й розглядати з будь-якого боку.

Що означає відношення частот a:b:c?

Частоти a, b і c визначають, скільки разів осцилятор кожної осі коливається за один період t від 0 до 2π. Коли a:b:c — малі взаємно прості цілі числа, крива замикається рівно після одного проходу, утворюючи охайну ґратку чи вузол. Якщо числа мають спільний дільник, відношення скорочується до простішого вигляду, а щодо ірраціональних відношень — крива ніколи не замикається.

Що станеться, якщо встановити частоту c рівною нулю?

Коли c = 0, третя координата z завжди дорівнює нулю, і тривимірний вузол згортається у плоску 2D криву Ліссажу. Це той самий візерунок, який показує осцилоскоп в XY-режимі, коли два сигнали різної частоти й фази подаються на його горизонтальну та вертикальну пластини.

Як фазові зсуви δx, δy, δz впливають на форму кривої?

Фазові зсуви обертають і нахиляють петлі кривої, не змінюючи самих частот. Наприклад, при відношенні частот 1:1 крива проходить від прямої лінії до кола та еліпса залежно від того, як фазовий зсув δ змінюється від 0 до π/2. Ця сама математика лежить в основі гармонографа, де гойдання маятників креслить згасаючі візерунки Ліссажу.

Чому майже однакові частоти створюють «биття» у візерунку?

Коли дві частоти дуже близькі, але не рівні точно, різниця між ними проявляється як повільне «биття» — фігура наче обертається й дихає, поступово змінюючи форму протягом багатьох періодів. Це той самий ефект биття, який чути в акустиці, коли два звуки близької висоти накладаються один на одного.