🎶 Ряд Фур'є — Інтерактивний симулятор фазорів та гармонік

Частотний спектр показує, скільки енергії присутньо на кожній частоті сигналу. Чиста синусоїда на 440 Гц дає єдиний пік на 440 Гц у спектрі. Складний музичний акорд показує піки на кількох гармонійно пов'язаних частотах. Прямокутна хвиля показує енергію на основній частоті та всіх непарних гармоніках з амплітудою, що спадає як 1/n. Шум має енергію, розподілену по всіх частотах (білий шум) або з певною спектральною формою. Спектр розкриває періодичності, гармонійні зв'язки та частотні складові, які не очевидні у сирому сигналі в часовій області.

Спектральне витікання виникає, коли ДПФ неявно припускає, що сигнал повторюється періодично, але сигнал у вікні аналізу не починається і не закінчується однаковим значенням. Розрив на межі вікна розсіює енергію чистого тону по сусідніх частотних бінах, приховуючи близькі спектральні особливості. Віконні функції (Ганна, Хеммінга, Блекмана) плавно зводять сигнал до нуля на обох кінцях, усуваючи розрив. Це обмінює частотну роздільну здатність (трохи розширені піки) на зменшене витікання (пригнічені бічні пелюстки), причому різні вікна оптимізують різні компроміси.

ДПФ обчислює кожну з N частотних складових як суму N відліків у часовій області, що вимагає загалом N у квадраті множень. ШПФ використовує симетрію та періодичність ДПФ, щоб рекурсивно розкласти обчислення: N-точкове ДПФ розбивається на два ДПФ з N/2 точками, кожне з яких розбивається на ДПФ з N/4 точками, і так далі протягом log2(N) рівнів. Загальна кількість операцій стає N*log2(N) — прискорення у 50 000 разів для N=1 000 000, що зробило обробку сигналів у реальному часі можливою.