🎵 Ряди Фур'є

Синуси й косинуси різних частот утворюють ортогональний базис простору періодичних функцій — подібно до того, як одиничні вектори x, y, z утворюють базис тривимірного простору. Так само, як будь-який 3D-вектор можна розкласти на компоненти x, y, z, будь-яку періодичну функцію можна розкласти на синусні й косинусні компоненти на кожній частоті. Властивість ортогональності означає, що кожен коефіцієнт можна обчислити незалежно, помноживши функцію на відповідний синус чи косинус та проінтегрувавши за один період.

Явище Гіббса — це приблизно 9-відсотковий викид, який виникає біля точки розриву функції під час її наближення скінченним рядом Фур'є. Що більше доданків додають, то гострішим і вужчим стає викид, але він ніколи не зникає — він збігається до піку сталої висоти (~9% величини стрибка) в точці розриву. Це не помилка теорії Фур'є, а справжня математична властивість: поточкова збіжність часткових сум не виконується в точках розриву, навіть якщо середньоквадратична похибка прямує до нуля.

Ряд Фур'є застосовують до періодичних функцій і розкладають їх на дискретні гармоніки на частотах nω₀. Перетворення Фур'є узагальнює це на неперіодичні функції, замінюючи дискретну суму неперервним інтегралом за всіма частотами: F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt. Ряд Фур'є можна розглядати як окремий випадок, коли період T → ∞ і дискретний спектр стає неперервним. Обидва мають ту саму математичну структуру: подання функції у частотному просторі.

Парна функція має в своєму ряді лише косинусні доданки; непарна функція — лише синусні. Прямокутна хвиля, центрована в початку координат, непарна (містить лише непарні синусні гармоніки), трикутна хвиля теж непарна. Розпізнавання симетрії вдвічі скорочує потрібні обчислення.

Кожен інструмент утворює характерний гармонічний спектр, що визначає його тембр. Стиснення MP3 використовує психоакустичні моделі в поєднанні з аналізом Фур'є, щоб відкидати нечутні частотні складові, а еквалайзери регулюють амплітуду коефіцієнтів Фур'є в різних частотних смугах.

Повзунок N гармонік (1–50) визначає, скільки доданків підсумовується. Максимальна похибка зменшується, а частка захопленої енергії наближається до 100% зі зростанням N — за винятком точки розриву, де викид Гіббса зберігається незалежно від того, наскільки великим стає N.

Прямокутна хвиля має розрив, тому її коефіцієнти спадають повільно, як 1/n, і вона завжди демонструє викид Гіббса. Трикутна хвиля має лише злам нахилу, тому її коефіцієнти спадають швидше, як 1/n², тож для гладкого вигляду потрібно набагато менше гармонік.

Кожну гармоніку зображено як обертове плече, довжина якого дорівнює її амплітуді, а швидкість обертання — кратній частоті n. Плечі з'єднуються кінець-у-кінець, як епіцикли Птолемея; кінчик останнього плеча описує ту саму форму хвилі, що показана праворуч.

Швидкість (0,1x–3x) лише масштабує, наскільки швидко обертаються плечі епіциклів і відтворюється анімація; вона не впливає на коефіцієнти, максимальну похибку чи частку захопленої енергії, які фіксовані після вибору форми хвилі та N.

Показник «Провідна гармоніка» показує, який доданок має найбільший коефіцієнт Фур'є — зазвичай це основна гармоніка f1, оскільки коефіцієнти для запропонованих пресетів здебільшого спадають зі зростанням номера гармоніки. Він залишається зафіксованим на f1 для більшості значень N, тому що вищі гармоніки уточнюють дрібні деталі поблизу розривів, але рідко перевищують домінантний внесок основної гармоніки.