UK 
EnglishТипова
Polski🎨 Комплексні функції
Доменне розфарбування комплексних функцій: відтінок кодує аргумент, яскравість — модуль f(z). Полюси, нулі та розрізи для z², sin z, exp z та інших.
Схожі симуляції
Про візуалізатор комплексних функцій
Комплексна функція f(z) приймає комплексне число z = x + iy як вхідні дані і повертає інше комплексне число. Оскільки і вхід, і вихід двовимірні, повний графік вимагав би чотирьох просторових вимірів — тому математики використовують «доменне розфарбування» (domain colouring): вихідне значення позначається кольором (відтінок кодує аргумент, тобто кут, f(z)) і яскравістю (кодує модуль |f(z)|). Ця техніка, започаткована Френком Феррісом і популяризована Еліасом Вегертом, дозволяє одразу побачити глобальну структуру функції: нулі виглядають як темні точки, де сходяться всі відтінки, полюси — як яскраві точки з відтінками, що закручуються у зворотному напрямку, а розрізи гілок — як різкі розриви кольору.
Ви можете ввести будь-який вираз від z (використовуючи стандартні позначення для sin, exp, log та арифметичних операцій), панорамувати й масштабувати комплексну площину, а також за бажанням накладати контурні лінії сталого модуля або сталого аргументу. Візуалізатор працює з багатозначними функціями і дозволяє інтерактивно досліджувати структуру рімановых листів.
Часті запитання
Що таке доменне розфарбування?
Доменне розфарбування зіставляє кожній точці z комплексної площини колір, визначений значенням f(z). Найпоширеніша угода призначає відтінок = arg(f(z)) (червоний для 0°, жовтий для 60°, зелений для 120°, блакитний для 180°, синій для 240°, пурпуровий для 300°) і яскравість, пропорційну log|f(z)|, так що кожен порядок величини відповідає одному циклу яскравості. Це створює характерні патерни «кольорового колеса» навколо кожного нуля й полюса.
Як розпізнати нуль на графіку?
Нуль порядку n виглядає як темна точка, де всі відтінки сходяться і закручуються рівно n разів проти годинникової стрілки. Число обертів — скільки разів кольорове колесо завершує повний цикл, коли ви обходите точку — дорівнює порядку нуля. Простий нуль (n=1) показує один повний цикл кольору; подвійний нуль (n=2) показує два цикли, тобто відтінки обертаються двічі, перш ніж повернутися до початкового кольору.
Як виглядає полюс на доменному розфарбуванні?
Полюс порядку n виглядає як надзвичайно яскрава точка, де відтінки закручуються за годинниковою стрілкою n разів (протилежно нулю). Поблизу простого полюса модуль необмежено зростає, тому яскравість насичується до білого, а колір обертається один раз у від'ємному (за годинниковою стрілкою) напрямку. Полюси вищого порядку показують кілька обертів кольорового колеса за годинниковою стрілкою, що дозволяє візуально визначити їхній порядок.
Що таке розріз гілки і чому він з'являється?
Розріз гілки — це лінія на комплексній площині, де багатозначна функція, така як log(z) або z^(1/2), штучно робиться однозначною шляхом оголошення однієї гілки «головним значенням». На доменному розфарбуванні це проявляється як різкий розрив відтінку — кольори стрибають від одного значення до свого дзеркального відображення через розріз. Традиційний розріз гілки для log(z) проходить уздовж від'ємної дійсної півосі; головне значення arg(z) лежить в (-π, π].
Що таке умова Коші-Рімана?
Комплексна функція f = u + iv є комплексно диференційовною (голоморфною) в точці тоді й лише тоді, коли її дійсна та уявна частини задовольняють ∂u/∂x = ∂v/∂y і ∂u/∂y = −∂v/∂x. Це рівняння Коші-Рімана. На доменному розфарбуванні голоморфні області вирізняються гладкими, конформно спотвореними кольоровими патернами; неаналітичні функції (наприклад, |z| або Re(z)) породжують кольорові поля, що порушують симетрію Коші-Рімана і виглядають «розірваними».
Як виглядає дзета-функція Рімана?
Дзета-функція Рімана ζ(s) має єдиний полюс у точці s = 1 (яскрава біла точка з обертанням відтінку за годинниковою стрілкою) і нескінченно багато нулів, які, як вважається, лежать на критичній прямій Re(s) = 1/2 (гіпотеза Рімана). На доменному розфарбуванні нулі виглядають як темні точки, де відтінки сходяться проти годинникової стрілки. Перший нетривіальний нуль знаходиться в точці s ≈ 0,5 + 14,135i — помітна темна пляма, видна при наближенні графіка до цієї області.
Що таке конформне відображення?
Конформне відображення — це комплексна функція, яка локально зберігає кути: малі фігури обертаються й масштабуються, але не зазнають зсуву. Будь-яка голоморфна функція з ненульовою похідною є конформною. Інженери використовують це, щоб перетворити складні задачі течії рідини чи електростатики в нерегулярних областях на простіші геометрії: течію навколо циліндра можна відобразити на однорідну течію, а потім відобразити назад, отримавши точний аналітичний розв'язок для розподілу тиску навколо профілю крила.
Що таке основна теорема алгебри в цьому контексті?
Основна теорема алгебри стверджує, що кожен неконстантний многочлен степеня n має рівно n комплексних нулів (з урахуванням кратності). На доменному розфарбуванні це означає, що графік будь-якого многочлена степеня n повинен показувати рівно n темних точок (нулів), де відтінок закручується проти годинникової стрілки, за умови, що вікно перегляду достатньо велике. Підрахунок обертів дає візуальний доказ теореми для будь-якого конкретного введеного вами многочлена.
Як візуалізуються комплексні експоненти?
Функція e^z = e^x·e^(iy) має модуль e^x (залежить лише від дійсної частини) і аргумент y (залежить лише від уявної частини). На доменному розфарбуванні горизонтальні смуги однакової яскравості (сталий модуль) йдуть вертикально, а відтінок повторюється кожні 2π у вертикальному (уявному) напрямку. Функція не має нулів чи полюсів на скінченній площині — це ціла функція — але має суттєву особливість на нескінченності.
Який зв'язок між доменним розфарбуванням і фракталом Ньютона?
Метод Ньютона для знаходження комплексних коренів многочлена z^n − c = 0 зіставляє кожну початкову точку кореню, до якого вона сходиться, породжуючи фрактал Ньютона. Якщо для розфарбування басейнів збіжності використовується доменне розфарбування, результатом є багато структурована фрактальна межа (структура множини Жюліа) між басейнами. Це один із найяскравіших візуальних застосувань теорії комплексних функцій, що показує, наскільки геометрично складним може бути навіть просте знаходження коренів.
Доменне розфарбування комплексних функцій. Відтінок кодує аргумент, а яскравість — модуль f(z), розкриваючи полюси, нулі, розрізи гілок і конформну структуру для z², sin z, exp z та інших.
2D · HTML5 Canvas 2D · 60 FPS target · runs fully client-side, no install