Чотири афінні перетворення, що застосовуються випадково з ймовірностями 0.01/0.85/0.07/0.07, породжують математично досконалий листок папороті з єдиної початкової точки. Це система ітерованих функцій — фрактал, визначений не рівнянням, а набором стискань.
Кожне перетворення відображає поточну точку в нове місце. 85% часу «лопасте» відображення злегка масштабує і обертає точку вгору — це формує основний вайю. Три інших відображення створюють стебло, маленькі нижні листочки та загальне вигинання. Атрактор має фрактальний вимір ≈ 1.74.
Натисніть Старт, щоб розсіювати окремі точки; спостерігайте, як папороть матеріалізується піксель за пікселем. Регулюйте кольорову схему для розфарбовування за індексом перетворення. Використовуйте панель пресетів для перемикання на Cyclosorus, Fishbone або Maple-leaf IFS-системи.
Майкл Барнслі розробив теорію IFS у 1988 році, вивчаючи стиснення зображень. Папороть вміщується у 36 байтів цифр — на противагу кілобайтам зображення. Його компанія Iterated Systems ненадовго отримала патент на фрактальне стиснення зображень, що використовувалось у деяких CD-ROM-енциклопедіях 1990-х.
Папороть Барнслі — це фрактал, породжений системою ітерованих функцій (IFS) за допомогою алгоритму Chaos Game. Починаючи з однієї точки, випадково обирається одне з чотирьох афінних перетворень — з ймовірностями 1%, 85%, 7% і 7% — та застосовується багаторазово. Після десятків тисяч ітерацій розсіяні точки сходяться до форми ідеального листка папороті, розкриваючи атрактор IFS із фрактальною розмірністю приблизно 1.74.
Майкл Барнслі представив теорію IFS у 1988 році, частково як метод стиснення зображень. Уся форма папороті кодується лише 24 числами (коефіцієнтами чотирьох 2D афінних перетворень), проте розгортається в нескінченно детальну самоподібну структуру, яка використовується як канонічний приклад у курсах фрактальної математики та теорії хаосу по всьому світу.
Система ітерованих функцій — це скінченний набір стискаючих відображень на повному метричному просторі. При багаторазовому випадковому застосуванні згідно з заданими ймовірностями ці відображення сходяться до єдиної нерухомої множини, що зветься атрактором. Для папороті Барнслі чотири афінні відображення кожне стискає простір і разом породжують самоподібну форму папороті як спільний атрактор.
Оберіть варіант IFS (класична папороть, Thelypteridaceae, деревоподібний IFS або спіральний IFS) у випадному списку. Перетягуйте на полотні, щоб обертати 3D-хмару точок, прокручуйте для масштабування, а повзунком Points змінюйте кількість відображених ітерацій chaos-game від 50 тис. до 250 тис. Колір кожної точки показує, яке з чотирьох перетворень її породило.
Перше перетворення (f1, показане темно-зеленим) стискає всю площину до вузького стебла папороті. Оскільки стебло — невелика частина загальної форми, воно потребує значно менше точок, ніж перетворення основного вайя (f2, 85%), яке відповідає за більшу частину листкової пластинки. Два перетворення листочків (f3 і f4, по 7%) створюють маленькі нижні пінули з обох боків основи.
Кожне перетворення має вигляд xn+1 = a*xn + b*yn + e та yn+1 = c*xn + d*yn + f. Класична папороть використовує: f1 [a=0, b=0, c=0, d=0.16, e=0, f=0, p=0.01] для стебла; f2 [a=0.85, b=0.04, c=-0.04, d=0.85, e=0, f=1.6, p=0.85] для основної пластинки; f3 [a=0.2, b=-0.26, c=0.23, d=0.22, e=0, f=1.6, p=0.07] для лівого листочка; та f4 [a=-0.15, b=0.28, c=0.26, d=0.24, e=0, f=0.44, p=0.07] для правого листочка. Разом ці 24 числа повністю визначають нескінченний атрактор папороті.
Папороть Барнслі має гаусдорфову фрактальну розмірність приблизно 1.74. Це значення лежить між 1 (лінія) і 2 (заповнена площина), відображаючи те, що папороть — складна самоподібна крива, яка частково заповнює площину, але не є щільною в жодній 2D-області. Фрактальну розмірність можна оцінити методом box-counting: покриваючи папороть коробками зменшуваного розміру та рахуючи, скільки їх потрібно, отримуємо степеневий закон з показником ~1.74.
Наприкінці 1980-х Барнслі та Алан Слоун заснували компанію Iterated Systems Inc., щоб комерціалізувати фрактальне стиснення зображень (FIC). Ідея полягає в тому, щоб розкласти будь-яке зображення на перекривні самоподібні області та закодувати кожну область як стискаюче афінне відображення. Декодер ітерує ці відображення, доки атрактор не зійдеться до початкового зображення. FIC досягало коефіцієнтів стиснення 100:1 і більше та використовувалось у Microsoft Encarta та інших CD-ROM-енциклопедіях 1990-х, доки не запанували JPEG і MPEG.
Chaos Game — це імовірнісний алгоритм, представлений Майклом Барнслі в його книзі 1988 року «Fractals Everywhere». Замість обчислення атрактора аналітично, ви обираєте випадкову початкову точку та повторно застосовуєте випадково обране стискаюче відображення (зважене за ймовірністю). Барнслі довів, що майже для будь-якої початкової точки орбіта врешті-решт вимальовує точний атрактор. Цей метод обчислювально ефективний і візуально вражаючий, оскільки форма папороті виникає з видимої випадковості.
Поширена помилка полягає в тому, що папороть Барнслі є біологічною моделлю реального виду папороті. Насправді це чисто математична конструкція — набір із чотирьох лінійних відображень, обраних Барнслі саме тому, що їхній атрактор нагадує папороть. Реальне зростання папороті визначається генетикою, диференціальними рівняннями поділу клітин та факторами середовища, а не чотирма фіксованими афінними відображеннями. Візуальна схожість — це збіг, який ілюструє, як прості математичні правила можуть породжувати природну на вигляд складність, тему, центральну для фрактальної геометрії.
Поряд з папороттю Барнслі існує багато природних на вигляд IFS-фракталів. Трикутник Серпінського породжується трьома стискаючими відображеннями з рівною ймовірністю і був одним із перших досліджених IFS-атракторів. Дерево Піфагора використовує розгалужені IFS-відображення для утворення самоподібного дерева. Криві дракона, криві Леві та дракон Гейтвея також є IFS-атракторами. Чотири пресети в цій симуляції — класична папороть, Thelypteridaceae (мутантна папороть), деревоподібний IFS і спіральний IFS — кожен використовує інший набір із чотирьох афінних коефіцієнтів для утворення різних рослиноподібних або геометричних форм.
IFS залишається практичним інструментом у процедурній графіці. Ігрові рушії та конвеєри 3D-рендерингу використовують L-системи та стохастичні граматики, похідні від IFS, для генерації рослинності, текстур ландшафту та форм хмар на кількох рівнях деталізації. Дослідження машинного навчання переглянули фрактальне стиснення за допомогою нейронних мереж (глибоких фрактальних автокодувальників), щоб вивчати оптимальні стискаючі відображення з даних. Теорія IFS також лежить в основі мультифрактального аналізу, що використовується в медичній візуалізації, аналізі фінансових часових рядів і моделюванні турбулентності, де сигнали розкладаються на самоподібні компоненти на кількох масштабах.
Активні напрямки досліджень включають обернену задачу IFS — автоматичний пошук оптимального набору афінних відображень для наближення довільної форми чи зображення, тепер розв'язується за допомогою генетичних алгоритмів і глибокого навчання. Дослідники також вивчають випадкові IFS, де самі відображення стохастично змінюються, породжуючи «нечіткі» атрактори з імовірнісними спектрами розмірності. У чистій математиці залишаються відкритими питання про точну гаусдорфову розмірність самоафінних атракторів, коли відображення неконформні. Продовжують досліджуватися зв'язки між IFS-атракторами і теорією чисел (через бернуллівські згортки) та геометрією множин Жюліа в комплексній динаміці.