UK 
EnglishТипова
Polski🎲 Задача Розорення Гравця
Задача розорення гравця: випадкове блукання з поглинальними межами. Ймовірність розорення, очікувана тривалість гри й перевага казино.
Про цю симуляцію
Цей симулятор досліджує класичну задачу розорення гравця: гравець із початковим капіталом k ставить $1 за раунд проти казино, вигравши з імовірністю p, зупиняючись лише на $0 (розорення) або цілі n (успіх). Це одновимірне випадкове блукання з двома поглинальними межами й точною формулою ймовірності розорення. Чотири режими дозволяють спостерігати одне блукання, пакетні випробування проти теорії, будувати криві розорення для кількох значень p, або досліджувати розмір ставки за критерієм Келлі.
🔬 Що показано
«Шлях блукання» анімує одне випадкове блукання між межами 0 і n. «Мультивипробування» пакетно виконує багато блукань і порівнює симульований відсоток розорення з теорією. «Крива теорії» будує P(розорення) відносно k для п'яти ймовірностей виграшу (0,35–0,65), виділяючи обране p. «Розмір Келлі» будує темп логарифмічного зростання g(f) відносно частки ставки f, позначаючи оптимальну частку Келлі f* зеленою крапкою.
🎮 Як користуватись
Задайте ймовірність виграшу p (0,30–0,70), початковий капітал k (1–99) і загальне багатство n (10–200); k автоматично утримується меншим за n. «Випробування» (10–1000) задає розмір пакета в режимі мультивипробувань, а «Коефіцієнти b» (0,5–5) задають виплату за кожен вкладений $1 у режимі розміру Келлі. «Пауза», «Скинути» та «Нове випробування» керують анімацією.
💡 Чи знали ви?
Задача розорення гравця була поставлена як одна з п'яти вправ у трактаті Християна Гюйгенса 1657 року про ймовірність — одній із перших книг на цю тему — і не була повністю розв'язана в замкненій формі до пізніших робіт Бернуллі та де Муавра.
Часті запитання
Що показують чотири режими перегляду?
«Шлях блукання» анімує одне блукання між межами 0 і n. «Мультивипробування» пакетно виконує блукання (вісім за кадр) і порівнює симульований та теоретичний відсоток розорення. «Крива теорії» будує P(розорення) відносно k для п'яти ймовірностей виграшу. «Розмір Келлі» натомість будує темп логарифмічного зростання відносно частки ставки f.
Чому початковий капітал k не може досягти чи перевищити загальне багатство n?
k — це ставка гравця з фіксованого загального n, тому вона має залишатися меншою за n, щоб блуканню було куди рухатися; симулятор автоматично обмежує k до n − 1, якщо повзунки штовхнули б його за n.
Чому повзунок ймовірності виграшу обмежений діапазоном 0,30–0,70?
p — це шанс виграшу кожної ставки в $1. Значення близькі до 0 або 1 роблять результат майже визначеним за кілька раундів, перетворюючи криві теорії та статистику мультивипробувань на неінформативні прямі лінії.
Що змінює повзунок коефіцієнтів b у режимі розміру Келлі?
b — це чиста виплата за кожен вкладений $1, використана у формулі зростання g(f) = p·ln(1+bf) + q·ln(1−f). Збільшення b підвищує оптимальну частку Келлі f* = p − q/b; якщо p дорівнює 0,5 або менше, режим повідомляє, що переваги немає.
Наскільки близько симульований відсоток розорення відповідає теоретичній формулі?
Режим мультивипробувань підраховує, скільки пакетних блукань завершуються на 0 проти n. Зі зростанням кількості випробувань симульований відсоток розорення збігається до точної формули — 1 − k/n для чесної гри, або співвідношення (q/p)^k для зміщеної — за законом великих чисел.
Часті запитання
-
Що таке задача розорення гравця?Розорення гравця — класична задача теорії ймовірностей: гравець починає з k доларів і ставить по $1 за раунд проти опонента (казино) з n − k доларами. Гра закінчується, коли один із гравців досягає $0. Питання в тому, яка ймовірність, що гравець розориться, перш ніж виграти.
-
Яка ймовірність розорення для чесної гри?Для чесного підкидання монети (p = q = 0,5) ймовірність розорення гравця, що починає з k доларів при загальному багатстві n, дорівнює P(розорення) = 1 − k/n. Тож якщо у вас $10 із загальних $100, ймовірність розоритися становить 90%.
-
Яка ймовірність розорення для зміщеної гри?Для зміщеної гри, де ви виграєте кожен раунд з імовірністю p і програєте з q = 1 − p, ймовірність розорення дорівнює P(розорення) = (1 − (q/p)^k) / (1 − (q/p)^n). Коли p < 0,5 (перевага казино), це швидко наближається до 1 навіть при великому початковому капіталі.
-
Чому казино завжди виграє?Казино підтримують невелику перевагу (наприклад, p = 0,493 у рулетці). Навіть незначне зміщення робить ймовірність розорення гравця близькою до 1 зі зростанням кількості раундів. Значно більший капітал казино означає, що ефективне співвідношення k/n завжди мізерне для будь-якого окремого гравця.
-
Що таке критерій Келлі?Критерій Келлі дає оптимальну частку f* = p − q/b вашого банкролу для ставки за раунд, де b — отримані коефіцієнти (чиста виплата за кожен вкладений $1). Ставка за часткою Келлі максимізує довгостроковий темп зростання банкролу та мінімізує ризик розорення.
-
Яка очікувана тривалість гри?Для чесної гри, що починається з k при загальному багатстві n, очікувана кількість раундів до завершення гри дорівнює k(n−k). Для зміщеної гри з p ≠ 0,5 очікувана тривалість залежить і від ймовірності виграшу, і від співвідношення q/p.
-
Як початковий капітал впливає на ймовірність розорення?У чесній грі ймовірність розорення точно дорівнює (n − k)/n: подвоєння початкового капіталу вдвічі зменшує ймовірність розорення. У зміщеній грі ефект набагато сильніший — навіть подвоєння k ледь зменшує ймовірність розорення за наявності переваги казино, бо домінує член (q/p)^k.
-
Що відбувається, коли p > 0,5?Коли у вас справжня перевага (p > 0,5), формула розорення дає ймовірність розорення менше 1 навіть проти нескінченно багатого опонента. Наприклад, при p = 0,55, починаючи з k=10 із n=100, ймовірність розорення суттєво падає порівняно з чесною грою.
-
Чи пов'язане розорення гравця з випадковими блуканнями?Так — кожна гра є одновимірним випадковим блуканням на цілих числах {0, 1, …, n} з поглинальними межами при 0 і n. Багатство гравця в момент t є ланцюгом Маркова, а ймовірність розорення — це ймовірність поглинання у стані 0, починаючи зі стану k.
-
Які реальні ситуації відповідають моделі розорення гравця?Окрім казино, модель застосовується до: торгівлі на біржі з фіксованою стратегією, ризику вимирання виду в екології (популяція досягає 0), теорії розорення у страхуванні, клінічних випробувань (ліки «перемагають» плацебо) та колізій пакетів у мережевих протоколах. Будь-яке змагання за скінченний ресурс проти краще капіталізованого опонента слідує подібній динаміці.