UK 
EnglishТипова
Polski🎲 Закон великих чисел
Кидайте кубики тисячі разів і спостерігайте, як середнє збігається до теоретичного значення (ЗВЧ), або спостерігайте, як гістограма середніх стає нормальною (ЦГТ).
Про закон великих чисел і центральну граничну теорему
Цей симулятор демонструє два наріжні камені теорії ймовірностей. У режимі ЗВЧ він робить повторні незалежні вибірки з обраного розподілу та будує графік поточного середнього X̄ відносно кількості випробувань N, показуючи його збіжність до справжнього очікування μ. У режимі ЦГТ він повторно бере набори з n значень, усереднює кожен набір і будує гістограму цих вибіркових середніх, яка наближається до нормальної кривої N(μ, σ²/n) незалежно від форми вихідного розподілу.
Кнопки режиму перемикають між переглядом збіжності та розподілом середніх. Селектор експерименту обирає вихідний розподіл (чесний d6, d4, чесна чи зміщена монета, експоненційний λ=1, бімодальний, рівномірний), кожен із відомими μ і σ. Повзунок розміру вибірки ЦГТ n (2–100) керує кількістю вибірок у кожному середньому, а кнопки швидкості (×1 до ×1k) задають кількість випробувань за кадр. Це лежить в основі опитувань, контролю якості й будь-яких висновків з вибіркових середніх.
Часті запитання
Що таке закон великих чисел?
Закон великих чисел стверджує, що зі збільшенням кількості незалежних вибірок з розподілу середнє цих вибірок збігається до справжнього очікуваного значення μ. У режимі ЗВЧ ви бачите, як лінія поточного середнього стабілізується на пунктирній лінії μ зі зростанням кількості випробувань N.
Що таке центральна гранична теорема?
Центральна гранична теорема стверджує, що середнє n незалежних однаково розподілених значень з будь-якого розподілу зі скінченним середнім і дисперсією само наближено нормально розподілене, із середнім μ і дисперсією σ²/n. У режимі ЦГТ гістограма вибіркових середніх стає дзвоноподібною кривою, навіть коли вихідний розподіл асиметричний або бімодальний.
Що роблять елементи керування?
Кнопки режиму перемикають між збіжністю ЗВЧ і розподілом середніх ЦГТ. Меню експерименту обирає вихідний розподіл, повзунок n (2–100, лише для ЦГТ) задає, скільки вибірок утворюють кожне середнє, а кнопки швидкості керують кількістю випробувань за кадр анімації.
З яких розподілів можна робити вибірку?
Можна обрати чесний шестигранний кубик (μ=3,5), чотиригранний кубик (μ=2,5), чесну монету (μ=0,5), зміщену монету з p=0,3 (μ=0,3), експоненційний розподіл із λ=1 (μ=1), бімодальну суміш при ±3 (μ=0) та рівномірний розподіл на [0,1] (μ=0,5). Кожен має відоме середнє й стандартне відхилення, які використовуються для теоретичних накладень.
Яка ключова формула для стандартної похибки?
Стандартна похибка вибіркового середнього дорівнює σ/√n, де σ — стандартне відхилення вихідного розподілу, а n — розмір вибірки. Панель показує це значення в реальному часі, що пояснює, чому гістограма ЦГТ звужується зі зростанням n і чому смуга ЗВЧ ±σ/√N звужується з накопиченням випробувань.
Чому смуга збіжності звужується зі зростанням N?
Заштрихована смуга навколо μ у режимі ЗВЧ — це довірча область ±σ/√N, із блідішою смугою ±2σ/√N зовні неї. Оскільки ширина зменшується пропорційно одиниці, поділеній на квадратний корінь з N, учетверення кількості випробувань лише вдвічі звужує смугу, тому точність повільно покращується з накопиченням даних.
Чи фізично точна ця симуляція?
Так. Кожна вибірка використовує псевдовипадкові числа JavaScript, перетворені відповідно до обраного розподілу, наприклад вибірку методом оберненого перетворення для експоненційного розподілу та гаусівський шум Бокса-Мюллера для бімодального. Побудовані μ, σ і нормальні накладення використовують точні теоретичні значення, тож емпіричні гістограми та поточні середні відображають справжню теорію ймовірностей.
Чи працює ЦГТ навіть для асиметричного або бімодального вихідного розподілу?
Так, і це найцікавіше. Спробуйте експоненціальний або бімодальний експеримент: окремі значення сильно ненормальні, проте гістограма їхніх вибіркових середніх все одно наближається до дзвоноподібної форми зі зростанням n. ЦГТ вимагає лише скінченного середнього й дисперсії, а не нормального вихідного розподілу.
Яким має бути розмір вибірки n?
Для приблизно симетричних вихідних розподілів вибіркові середні виглядають нормальними навіть при n близько 10. Для сильно асиметричних розподілів, як-от експоненційний, зазвичай потрібне більше n (30 або більше), перш ніж гістограма виглядатиме переконливо нормальною. Збільшіть повзунок n і порівняйте, як швидко формується дзвоноподібна форма для різних експериментів.
У чому різниця між поглядами ЗВЧ і ЦГТ?
ЗВЧ стосується одного зростаючого середнього: він показує, що поточне середнє збігається до μ. ЦГТ стосується розподілу багатьох окремих середніх: він показує, як ці середні розсіяні навколо μ. ЗВЧ пояснює, чому велика вибірка точна; ЦГТ пояснює форму й ширину похибки навколо цієї оцінки.
Де це використовується в реальному світі?
Разом ці результати обґрунтовують більшість статистичних висновків. Опитування громадської думки, A/B-тестування, контроль якості виробництва, страховий пул ризиків і симуляції Монте-Карло — усі покладаються на збіжність вибіркових середніх до істини та на нормальне наближення для побудови довірчих інтервалів і тестів значущості на основі скінченних даних.