UK 
EnglishТипова
Polski📈 Стохастичні Процеси
Стохастичні процеси: вінерівський процес, броунівський рух, дрейф і волатильність, геометричне блукання цін.
Про цю симуляцію
Цей симулятор будує вибіркові шляхи вінерівського процесу W(t) — випадкового блукання неперервного часу, прирости якого незалежні й нормально розподілені з дисперсією, що дорівнює минулому часу. Він також дозволяє перемикатися на дві похідні моделі: процес Орнштейна-Уленбека з поверненням до середнього та геометричний броунівський рух — стохастичне диференціальне рівняння в основі формули ціноутворення опціонів Блека-Шоулза. Шляхи генеруються чисельно за схемою Ейлера-Маруями — стандартним способом інтегрування стохастичного диференціального рівняння на комп'ютері.
🔬 Що показано
До 30 незалежних випадкових шляхів, побудованих одночасно, з накладеним білим поточним середнім, щоб побачити, як окремі зубчасті траєкторії усереднюються в більш гладкий тренд. Кожен тип процесу демонструє іншу поведінку: BM блукає без обмежень, OU постійно повертається до довгострокового середнього, а GBM залишається строго додатним і в середньому зростає експоненційно, як ціна акції.
🎮 Як користуватись
Оберіть BM, OU або GBM кнопками типу процесу. Для BM налаштуйте дифузію σ і дрейф μ; для OU задайте швидкість повернення до середнього θ, довгострокове середнє μ і волатильність σ; для GBM налаштуйте річний дрейф μ і волатильність σ (%/рік) та початкову ціну S₀. Кожен повзунок миттєво перебудовує пакет шляхів.
💡 Чи знали ви?
Шляхи вінерівського процесу неперервні скрізь, але ніде не диференційовні — математична дивовижа, вперше строго доведена Норбертом Вінером у 1920-х роках, через десятиліття після того, як Роберт Браун спостерігав той самий тремтливий рух у пилку під мікроскопом у 1827 році.
Часті запитання
Що таке вінерівський процес?
Це стохастичний процес неперервного часу W(t), що починається з нуля й має незалежні, нормально розподілені прирости: W(t) − W(s) має нормальний розподіл із середнім 0 і дисперсією t − s. Це строга математична модель броунівського руху — випадкового тремтіння частинок, завислих у рідині.
У чому різниця між BM, OU та GBM у цьому симуляторі?
BM (броунівський рух) — це чисте випадкове блукання без відновлювальної сили, тож його розкид зростає без обмежень. OU (Орнштейна-Уленбека) додає член повернення до середнього, що притягує шлях до цільового значення, що робить його корисним для відсоткових ставок чи температур. GBM (геометричний броунівський рух) множить випадковість на поточне значення, тож шлях завжди залишається додатним, тому він моделює ціни акцій.
Як симулятор генерує шляхи?
Він використовує метод Ейлера-Маруями — стохастичний аналог методу Ейлера для звичайних диференціальних рівнянь. На кожному малому кроці часу додається детермінований дрейф плюс випадковий поштовх з нормального розподілу, масштабований квадратним коренем із кроку часу — коректний спосіб дискретизації стохастичного диференціального рівняння.
Чому окремі шляхи виглядають зубчастими, а біла лінія середнього — гладкою?
Кожен шлях ніде не диференційовний, тож він зигзагоподібно змінюється на будь-якому масштабі й ніколи не стає гладкою кривою. Усереднення багатьох незалежних шляхів скасовує більшість випадкових флуктуацій, тоді як базовий дрейф залишається — саме тому біла середня лінія виглядає значно гладшою за будь-яку окрему траєкторію.
Чому геометричний броунівський рух використовують для цін акцій замість простого броунівського руху?
Простий броунівський рух може стати від'ємним, що не має сенсу для ціни активу. GBM натомість моделює логарифм ціни як броунівський рух із дрейфом, тож сама ціна завжди додатна й логнормально розподілена. Саме це припущення лежить в основі моделі ціноутворення опціонів Блека-Шоулза.
Часті запитання
-
- Що таке вінерівський процес (стандартний броунівський рух)?
- Вінерівський процес (також званий стандартним броунівським рухом) — це стохастичний процес неперервного часу W(t) з незалежними, нормально розподіленими приростами: W(t)−W(s) ~ N(0, t−s). Це математична формалізація випадкового тремтіння, спостереженого ботаніком Робертом Брауном у 1827 році та пізніше строго формалізованого Норбертом Вінером у 1920-х роках.
-
- Що таке метод Ейлера-Маруями?
- Метод Ейлера-Маруями — стохастичний аналог методу Ейлера для звичайних диференціальних рівнянь. Для стохастичного диференціального рівняння dX = f(X,t)dt + g(X,t)dW він апроксимує X(t+dt) ≈ X(t) + f(X,t)⋅dt + g(X,t)⋅√dt⋅N(0,1). Симулятор використовує цю дискретизацію з малим кроком часу dt для генерації реалістичних вибіркових шляхів.
-
- Як геометричний броунівський рух пов'язаний із моделлю Блека-Шоулза?
- GBM — це стохастичне диференціальне рівняння dS = μS⋅dt + σS⋅dW, де μ — дрейф (очікувана дохідність), а σ — волатильність. Формула ціноутворення опціонів Блека-Шоулза припускає, що ціна базового активу слідує GBM. Оскільки GBM завжди залишається додатним і дає логнормально розподілені ціни, це канонічна модель для цін акцій.
-
- Чим процес Орнштейна-Уленбека відрізняється від стандартного броунівського руху?
- Процес OU додає член повернення до середнього: dX = θ(μ−X)dt + σdW. Параметр θ > 0 притягує процес назад до довгострокового середнього μ. На відміну від чистого броунівського руху, процес OU стаціонарний, і його дисперсія не зростає необмежено. Використовується для моделювання відсоткових ставок (модель Васічека), цін на сировину та мембранних потенціалів нейронів.
-
- Що таке квадратична варіація вінерівського процесу?
- Квадратична варіація W на [0,T] дорівнює T майже напевно. Ця ненульова квадратична варіація відрізняє стохастичне числення від звичайного і вимагає леми Іто, яка додає поправковий член (½σ²f''dt), відсутній у класичному правилі ланцюга.
-
- Чому шляхи вінерівського процесу виглядають зубчастими?
- Шляхи вінерівського процесу майже напевно ніде не диференційовні. У кожній точці функція змінює напрямок нескінченно часто — локальна варіація нескінченна. Ця математична шорсткість, видима як зубчастий зигзаг у симуляторі, кількісно відображається ненульовою квадратичною варіацією.
-
- Що таке інтеграл Іто і чим він відрізняється від інтеграла Рімана?
- Інтеграл Іто ∫₀ᵀf(t)dW(t) визначається як границя сум, що завжди використовують лівий кінець кожного інтервалу (непередбачувальний). Оскільки dW має скінченну квадратичну варіацію, звичайний інтеграл Рімана-Стілтьєса не визначений коректно, і при застосуванні правила ланцюга (лема Іто) з'являється поправковий член ½σ²f''.
-
- Скільки шляхів потрібно симулювати для надійної статистики?
- Для грубої статистики (середній шлях, приблизна смуга дисперсії) зазвичай достатньо 20–50 шляхів. Для точних імовірностей хвостів або оцінок ціни опціонів збіжність методу Монте-Карло масштабується як 1/√N, тож на практиці типово потрібно 1000–10000 шляхів. Симулятор малює до 30 незалежних шляхів одночасно, щоб візуально показати розкид.
-
- Яке середньоквадратичне зміщення броунівського руху?
- Для стандартного вінерівського процесу E[W(t)²] = t. Загальніше, для d-вимірного броунівського руху з коефіцієнтом дифузії D середньоквадратичне зміщення E[|r(t)|²] = 2dDt зростає лінійно з часом — ключова ознака, що відрізняє нормальну дифузію від аномальної (суб- чи супердифузії).
-
- Чи можна експортувати симульовані шляхи?
- Симулятор працює повністю в браузері та не надсилає дані на сервер. Ви можете зробити знімок екрана полотна. Для великомасштабних розрахунків методом Монте-Карло рекомендується запускати алгоритм Ейлера-Маруями у Python з NumPy або в Julia з DifferentialEquations.jl.