UK 
EnglishТипова
Polski📈 Діаграма Боде: частотна характеристика та запаси стійкості
Інтерактивний симулятор діаграми Боде: розмістіть справжні полюси й нулі, спостерігайте справжні криві амплітуди й фази з G(jω) та зчитуйте живий запас підсилення, запас фази та вердикт стійкості.
Про цю симуляцію
Ця симуляція будує справжню передавальну функцію G(s) = K·Π(s−zᵢ)/Π(s−pᵢ) з розміщених вами полюсів і нулів, а потім реально обчислює G(jω) як арифметику комплексних чисел на розгорнутому логарифмічному діапазоні частот. Вона будує фактично обчислену амплітуду 20·log₁₀|G(jω)| у децибелах та фазу ∠G(jω) у градусах відносно логарифмічної частоти — справжню діаграму Боде, а не ескіз, — а потім знаходить частоту перетину підсилення (де |G|=0 дБ) та частоту перетину фази (де фаза=−180°) інтерполяцією на цих кривих, щоб повідомити класичний запас підсилення та запас фази, а також живий вердикт стійкості.
🔬 Що показано
Вигляд s-площини, де × позначає полюси, а ○ — нулі передавальної функції розімкненого контуру, плюс дві справжні криві частотної характеристики: амплітуда в дБ і фаза в градусах, обидві обчислені точка за точкою з G(jω). Бурштиновий маркер — це частота перетину підсилення ω_gc; фіолетовий маркер — частота перетину фази ω_pc. Запас підсилення та запас фази зчитуються безпосередньо з цих двох точок.
🎮 Як користуватись
Перетягуйте маркери × та ○ на s-площині, щоб пересувати полюси й нулі, або введіть точні значення Re/Im, коли один із них обрано. Використовуйте + Полюс, + Пара полюсів, + Нуль, + Пара нулів, щоб додати дійсні чи комплексно-спряжені корені, і Видалити обраний, щоб видалити один. Повзунок підсилення K масштабує всю передавальну функцію; повзунки діапазону частот керують тим, скільки декад охоплює розгортка. Спостерігайте, як запас підсилення, запас фази та вердикт стійкості оновлюються наживо під час редагування.
💡 Чи знали ви?
Приклад за замовчуванням G(s) = K/[s(s+1)(s+5)] — класична система типу 1: критерій Рауса-Гурвіца показує, що її замкнений контур стабільний лише для 0 < K < 30. Пересуньте повзунок підсилення K до 30 і спостерігайте, як запас підсилення стискається до 0 дБ, а вердикт змінюється зі стабільного на граничний і на нестабільний — точно та межа, яку передбачає критерій стійкості Найквіста/Боде.
Часті питання
Що таке діаграма Боде?
Діаграма Боде — це пара графіків — амплітуда в децибелах і фаза в градусах, обидва відносно частоти на логарифмічній осі, — що показують, як лінійна система реагує на синусоїдальні входи будь-якої частоти. Вона будується підстановкою s = jω у передавальну функцію системи G(s) та обчисленням отриманого комплексного числа G(jω) на багатьох частотах ω; ця симуляція робить саме це, використовуючи справжню арифметику комплексних чисел, а не наближення.
Що таке запас підсилення та запас фази точно?
Запас підсилення — це наскільки може зрости підсилення розімкненого контуру, у децибелах, перш ніж замкнений контур стане нестабільним; він вимірюється на частоті перетину фази ω_pc, частоті, де фаза вперше досягає −180°, як GM = −20·log₁₀|G(jω_pc)|. Запас фази — це скільки додаткового фазового запізнення може витримати контур перед нестабільністю; він вимірюється на частоті перетину підсилення ω_gc, де |G(jω_gc)| = 0 дБ (одиничне підсилення), як PM = 180° + ∠G(jω_gc). Обидва зчитуються безпосередньо з побудованих кривих у цій симуляції, інтерполяцією між двома найближчими точками вибірки, що охоплюють перетин.
Чому позитивні запаси означають, що замкнений контур стабільний?
За класичною теорією стійкості Боде/Найквіста, для великого класу передавальних функцій розімкненого контуру замикання контуру одиничним негативним зворотним зв’язком залишається стабільним, доки на частоті, де підсилення дорівнює 0 дБ, фаза ще не досягла −180° (позитивний запас фази), а на частоті, де фаза досягає −180°, підсилення все ще нижче 0 дБ (позитивний запас підсилення). Якщо будь-яка умова порушується, підсилення й фаза контуру збігаються на −180° з підсиленням ≥ 1, тож невелике збурення повертається у фазі й підсилюється щоцикл — визначення нестабільності. Ця симуляція позначає «граничний», а не просто «стабільний», коли запас позитивний, але малий, оскільки реальні системи мають невизначеність моделі, і малі запаси залишають мало запасу стійкості.
Як ця симуляція насправді обчислює криві — це реальний розрахунок?
Так. Кожен розміщений вами полюс і нуль зберігається як комплексне число; симуляція розкриває G(s) = K·Π(s−zᵢ)/Π(s−pᵢ), підставляє s = jω для 400 логарифмічно рознесених частот між обраними межами та виконує справжнє комплексне множення й ділення (за стандартними правилами арифметики a+bi) у кожній точці. Амплітуда — це 20·log₁₀ модуля отриманого комплексного числа, а фаза — його аргумент, розгорнутий по всій розгортці, щоб не стрибати на ±360° — той самий розрахунок, що виконує підручник чи функція bode() у MATLAB.
Чому фаза продовжує зменшуватися, а не обгортається?
Кожен полюс передавальної функції додає кут, що наближається до −90° зі зростанням частоти вище точки зламу цього полюса, а кожен нуль додає +90° таким же чином; система з трьома полюсами й без нулів, отже, опиняється поблизу −270° на високій частоті, а не десь між −180° та +180°. Ця симуляція «розгортає» сирий арктангенсний вихід так, щоб крива фази була неперервною, а не стрибала назад щоразу, коли сирий кут перетнув би ±180°, що необхідно для правильного знаходження частоти перетину фази −180°.
Що означає, коли запас підсилення чи запас фази показує "∞ (немає перетину)"?
Якщо крива амплітуди ніколи не перетинає 0 дБ ніде в обраному діапазоні частот, частоти перетину підсилення не існує, і запас фази не може бути знайдений таким чином — підсилення контуру або завжди нижче, або завжди вище одиниці в розгорнутій смузі. Так само, якщо фаза не досягає −180° у діапазоні, скінченного запасу підсилення не існує. Розширення діапазону частот повзунками ω min / ω max зазвичай виявить перетин, якщо він взагалі існує.
Чому приклад за замовчуванням використовує полюс у початку координат?
Полюс при s = 0 робить G(s) системою «типу 1», тобто вона містить вільний інтегратор; системи типу 1 поширені на практиці (керування положенням двигуна, керування рівнем), оскільки інтегратор зводить усталену похибку до нуля для ступінчастого входу. Вони також є стандартним навчальним прикладом для аналізу Боде, оскільки їхня фаза починається з −90° на низькій частоті, а їхній запас підсилення скінченний і залежить від підсилення, що робить межу стійкості легкою для спостереження, пересуваючи K.