UK 
EnglishDefault
Polski🌀 Кореневий годограф: як полюси рухаються зі зміною підсилення
Інтерактивний кореневий годограф: розмістіть полюси й нулі розімкнутого контуру, змінюйте підсилення K і спостерігайте, як справжні полюси замкнутого контуру простежують точні траєкторії в s-площині, з живим вердиктом стійкості та критичним підсиленням.
Про цю симуляцію
Кореневий годограф, винайдений Уолтером Р. Евансом 1948 року, — це класична графічна техніка, що точно показує, як полюси замкнутого контуру — корені характеристичного рівняння 1 + K·G(s)H(s) = 0 — рухаються через комплексну s-площину, коли справжнє підсилення K змінюється від 0 до нескінченності. Ця симуляція будує справжній характеристичний поліном з будь-яких розміщених вами полюсів і нулів розімкнутого контуру, а потім знаходить його точні корені для кожного підсилення за допомогою чисельного пошуку коренів Дюрана–Кернера, тож кожна гілка, яку ви бачите, — це справді обчислена траєкторія, а не намальований від руки ескіз. Оскільки система стійка рівно тоді, коли кожен полюс замкнутого контуру має від'ємну дійсну частину, годограф безпосередньо показує реальний діапазон K, за якого контур залишається стійким, і точно вказує критичне підсилення K_крит, за якого гілка перетинає уявну вісь у затінену праву напівплощину.
🔬 Що показано
Мітки × — це полюси розімкнутого контуру (корені знаменника G(s)H(s)), а мітки ○ — нулі розімкнутого контуру. У міру зростання K від 0 кожна гілка починається точно в полюсі розімкнутого контуру; гілки або закінчуються в нулі розімкнутого контуру, або йдуть у нескінченність уздовж прямолінійних асимптот, кути яких і спільний центроїд слідують стандартним правилам побудови кореневого годографа. Заповнені бурштинові точки — це справжні полюси замкнутого контуру за поточного підсилення K, обчислені чисельно, а не інтерпольовані, а затінена права половина площини — нестійка область.
🎮 Як користуватися
Перетягуйте будь-який × (полюс) чи ○ (нуль) прямо на графіку, або введіть точні координати на бічній панелі; годограф перераховується наживо. Використовуйте + Полюс / + Нуль, щоб додати ще (нулів не може бути більше, ніж полюсів, для фізично реалізовної системи), та режим Видалити, щоб клацнути й прибрати мітку. Перемістіть повзунок K, щоб посунути живі мітки полюсів уздовж справді обчисленого годографа, або натисніть Анімувати K, щоб змінювати його автоматично. K макс контролює, наскільки далеко шукають перебір і повзунок K.
💡 Чи знали ви?
Для класичного прикладу G(s)H(s) = K / [s(s+2)(s+4)], завантаженого за замовчуванням, аналіз Рауса–Гурвіца передбачає, що контур стає нестійким рівно за K = 48 — і бісекційний пошук цієї симуляції на чисельно відстеженій гілці знаходить те саме K_крит ≈ 48 суто з положень коренів, без жодної алгебри. Додавання нуля (спробуйте пресет «Додати нуль») тягне гілку назад у ліву напівплощину — саме тому випереджувальні компенсатори (побудовані з додаткового нуля) використовують для стабілізації граничних систем.
Поширені запитання
Що таке кореневий годограф точно і хто його винайшов?
Кореневий годограф — це графік у комплексній s-площині кожного кореня характеристичного рівняння замкнутого контуру 1 + K·G(s)H(s) = 0, коли реальне, невід'ємне підсилення K неперервно змінюється від 0 до нескінченності. Його представив Уолтер Р. Еванс 1948 року саме для того, щоб інженери керування могли бачити, як підсилення зворотного зв'язку впливає на положення полюсів замкнутого контуру — а отже, на стійкість і перехідну реакцію — без необхідності факторизувати новий поліном вручну для кожного кандидатного підсилення. Ця симуляція виконує той самий точний пошук коренів чисельно для кожного K замість вручну.
Чому кожна гілка починається в полюсі розімкнутого контуру та закінчується в нулі розімкнутого контуру чи в нескінченності?
За K = 0 характеристичне рівняння 1 + K·G(s)H(s) = 0 зводиться просто до знаменника G(s)H(s), що дорівнює нулю, — тож полюси замкнутого контуру є точно полюсами розімкнутого контуру. Коли K → ∞, рівняння домінується чисельником, тож корені наближаються до нулів розімкнутого контуру. Якщо нулів менше, ніж полюсів, «зайвим» гілкам нікуди йти скінченно, і вони натомість розходяться до нескінченності вздовж прямолінійних асимптот, чиї кути дорівнюють (2k+1)·180°/(n−m), а спільне походження (центроїд) — (Σполюси − Σнулі)/(n−m), де n — кількість полюсів, а m — кількість нулів.
Як кореневий годограф виявляє стійкість і що таке K_крит?
Лінійна система стійка тоді й лише тоді, коли кожен полюс замкнутого контуру має строго від'ємну дійсну частину — тобто розташований у лівій половині s-площини, тут показаній білим, на противагу правій половині з червоним відтінком. У міру зростання K уздовж гілки момент, коли дійсна частина цієї гілки перетинає нуль у затінену область, є критичним підсиленням K_крит: для K нижче нього система стійка, для K вище нього ця гілка стала нестійкою. Ця симуляція знаходить K_крит, скануючи обчислений годограф на зміну знака дійсної частини гілки, а потім уточнює його бісекцією на точному чисельно відстеженому корені.
Як ця симуляція насправді обчислює годограф — це справжнє обчислення?
Так. З ваших розміщених полюсів і нулів вона будує нормований поліном знаменника Знам(s) і поліном чисельника Числ(s), формує точний характеристичний поліном Знам(s) + K·Числ(s) для перебраної послідовності значень K і знаходить усі комплексні корені цього полінома одночасно за допомогою ітерації Дюрана–Кернера — справжнього чисельного методу пошуку коренів полінома. Послідовні вибірки K «розігріваються» з попередніх коренів і зіставляються за найближчою відстанню, щоб кожна гілка залишалася неперервною — саме та неперервність, яку передбачає намальований від руки годограф.
Чому розміщення полюса чи нуля може зробити систему нестійкою за низького підсилення?
Якщо якийсь полюс розімкнутого контуру вже перебуває в правій напівплощині (додатна дійсна частина) і жоден нуль чи сусідній полюс не переформовує годограф достатньо швидко, відповідна гілка може залишатися в правій напівплощині за малого K, або гілка може перетнути її дуже рано. Пресет «Комплексна пара» в цій симуляції завантажує полюси в 1 ± 2j — уже нестійкі в розімкнутому контурі, — тож ви можете побачити, скільки (чи як мало) підсилення зворотного зв'язку потрібно, якщо взагалі потрібно, щоб повернути цю гілку в стійку область.
Які реальні проєктні рішення підтримує кореневий годограф?
Інженери керування використовують кореневий годограф, щоб обрати підсилення K, яке розміщує полюси замкнутого контуру там, де вони потрібні — наприклад, достатньо ліворуч для швидкої реакції, або з коефіцієнтом демпфування, що обмежує перерегулювання. Він також мотивує проєктування компенсаторів: додавання нуля (як у випереджувальному компенсаторі) вигинає гілки до лівої напівплощини й може стабілізувати граничну систему, тоді як додавання полюса (запізнювальна компенсація) робить локально протилежне, але може покращити точність в усталеному режимі. Саме тому майже кожен класичний курс систем керування будує кореневий годограф вручну, перш ніж хоч раз торкнутися комп'ютера.