📈 Diagrama de Bode: Respuesta en Frecuencia y Márgenes de Estabilidad

Un diagrama de Bode es un par de gráficas (magnitud en decibelios y fase en grados, ambas frente a la frecuencia en un eje logarítmico) que muestran cómo responde un sistema lineal a entradas sinusoidales de cualquier frecuencia. Se produce sustituyendo s = jω en la función de transferencia del sistema G(s) y evaluando el número complejo resultante G(jω) en muchas frecuencias ω; esta simulación hace exactamente eso usando aritmética real de números complejos, no una aproximación.

El margen de ganancia es cuánto podría aumentar la ganancia de lazo abierto, en decibelios, antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable; se mide en la frecuencia de cruce de fase ω_pc, la frecuencia donde la fase alcanza por primera vez −180°, como GM = −20·log₁₀|G(jω_pc)|. El margen de fase es cuánto retardo de fase adicional podría tolerar el lazo antes de la inestabilidad; se mide en la frecuencia de cruce de ganancia ω_gc, donde |G(jω_gc)| = 0 dB (ganancia unitaria), como PM = 180° + ∠G(jω_gc). Ambos se leen directamente de las curvas graficadas en esta simulación, interpolando entre los dos puntos de muestra más cercanos que encierran el cruce.

Según la teoría clásica de estabilidad de Bode/Nyquist, para una amplia clase de funciones de transferencia en lazo abierto, cerrar el lazo con realimentación negativa unitaria se mantiene estable siempre que, en la frecuencia donde la ganancia es igual a 0 dB, la fase aún no haya alcanzado −180° (margen de fase positivo), y en la frecuencia donde la fase alcanza −180°, la ganancia siga por debajo de 0 dB (margen de ganancia positivo). Si alguna condición falla, la ganancia y la fase del lazo se alinean en −180° con una ganancia ≥ 1, por lo que una pequeña perturbación se realimenta en fase y se amplifica en cada ciclo: la definición de inestabilidad. Esta simulación marca "marginal" en lugar de simplemente "estable" cuando un margen es positivo pero pequeño, porque los sistemas reales tienen incertidumbre de modelo y márgenes pequeños dejan poco margen de robustez.

Sí. Cada polo y cero que usted coloca se almacena como un número complejo; la simulación desarrolla G(s) = K·Π(s−zᵢ)/Π(s−pᵢ), sustituye s = jω para 400 frecuencias espaciadas logarítmicamente entre los límites elegidos, y realiza multiplicación y división complejas genuinas (usando las reglas aritméticas estándar a+bi) en cada punto. La magnitud es 20·log₁₀ del módulo del número complejo resultante y la fase es su argumento, desenrollado a lo largo del barrido para que no salte ±360°: el mismo cálculo que realiza un libro de texto o la función bode() de MATLAB.

Cada polo de una función de transferencia aporta un ángulo que se acerca a −90° a medida que la frecuencia supera la frecuencia de quiebre de ese polo, y cada cero aporta +90° de la misma manera; un sistema con tres polos y ningún cero termina, por tanto, cerca de −270° a alta frecuencia, no en algún punto entre −180° y +180°. Esta simulación "desenrolla" la salida bruta del arcotangente para que la curva de fase sea continua en lugar de saltar cada vez que el ángulo bruto cruzaría ±180°, algo esencial para encontrar correctamente la frecuencia de cruce de fase de −180°.

Si la curva de magnitud nunca cruza 0 dB en ningún punto del rango de frecuencia elegido, no hay frecuencia de cruce de ganancia y el margen de fase no puede localizarse de esa manera: la ganancia de lazo está siempre por debajo o siempre por encima de la unidad en toda la banda barrida. Del mismo modo, si la fase nunca alcanza −180° en el rango, no hay margen de ganancia finito. Ampliar el rango de frecuencia con los deslizadores ω mín / ω máx normalmente revelará el cruce si existe alguno.

Un polo en s = 0 hace que G(s) sea un sistema "de tipo 1", es decir, que contiene un integrador libre; los sistemas de tipo 1 son comunes en la práctica (control de posición de motores, control de nivel) porque el integrador lleva el error en estado estacionario a cero para una entrada escalón. También son un ejemplo didáctico habitual para el análisis de Bode porque su fase comienza en −90° a baja frecuencia y su margen de ganancia es finito y depende de la ganancia, lo que facilita ver el límite de estabilidad al deslizar K.