📈 Bode-Diagramm: Frequenzgang & Stabilitätsreserven

Ein Bode-Diagramm ist ein Paar von Graphen — Amplitude in Dezibel und Phase in Grad, beide gegen die Frequenz auf einer logarithmischen Achse — die zeigen, wie ein lineares System auf sinusförmige Eingaben jeder Frequenz reagiert. Es entsteht, indem s = jω in die Übertragungsfunktion G(s) des Systems eingesetzt und die resultierende komplexe Zahl G(jω) bei vielen Frequenzen ω ausgewertet wird; diese Simulation tut genau das mit echter komplexer Arithmetik, nicht mit einer Näherung.

Die Verstärkungsreserve gibt an, um wie viel Dezibel die Verstärkung des offenen Regelkreises steigen könnte, bevor das geschlossene System instabil wird; sie wird bei der Phasendurchgangsfrequenz ω_pc gemessen, der Frequenz, bei der die Phase erstmals −180° erreicht, als GM = −20·log₁₀|G(jω_pc)|. Die Phasenreserve gibt an, wie viel zusätzliche Phasenverzögerung der Regelkreis vor Instabilität verträgt; sie wird bei der Verstärkungsdurchgangsfrequenz ω_gc gemessen, bei der |G(jω_gc)| = 0 dB (Einheitsverstärkung) gilt, als PM = 180° + ∠G(jω_gc). Beide werden direkt aus den geplotteten Kurven abgelesen, indem zwischen den beiden nächstgelegenen Stützpunkten um den Durchgang interpoliert wird.

Nach der klassischen Bode-/Nyquist-Stabilitätstheorie bleibt für eine große Klasse von Übertragungsfunktionen des offenen Kreises das Schließen mit negativer Einheitsrückkopplung stabil, solange bei der Frequenz, bei der die Verstärkung 0 dB beträgt, die Phase noch nicht −180° erreicht hat (positive Phasenreserve), und bei der Frequenz, bei der die Phase −180° erreicht, die Verstärkung noch unter 0 dB liegt (positive Verstärkungsreserve). Ist eine der Bedingungen verletzt, richten sich Schleifenverstärkung und -phase bei −180° mit Verstärkung ≥ 1 aus, sodass eine kleine Störung phasengleich zurückgeführt und in jedem Zyklus verstärkt wird — die Definition von Instabilität. Diese Simulation markiert „grenzwertig“ statt einfach „stabil“, wenn eine Reserve positiv, aber klein ist, da reale Systeme Modellunsicherheiten aufweisen und kleine Reserven wenig Robustheitsspielraum lassen.

Ja. Jeder platzierte Pol und jede Nullstelle wird als komplexe Zahl gespeichert; die Simulation multipliziert G(s) = K·Π(s−zᵢ)/Π(s−pᵢ) aus, setzt s = jω für 400 logarithmisch verteilte Frequenzen zwischen den gewählten Grenzen ein und führt bei jedem Punkt echte komplexe Multiplikation und Division durch (nach den Standard-a+bi-Regeln). Die Amplitude ist 20·log₁₀ des Betrags der resultierenden komplexen Zahl, und die Phase ist ihr Argument, über den Durchlauf entpackt, damit sie nicht um ±360° springt — dieselbe Berechnung, die auch ein Lehrbuch oder MATLABs bode()-Funktion durchführt.

Jeder Pol einer Übertragungsfunktion trägt einen Winkel bei, der sich mit steigender Frequenz über die Eckfrequenz des Pols hinaus −90° annähert, und jede Nullstelle trägt auf dieselbe Weise +90° bei; ein System mit drei Polen und keiner Nullstelle landet daher bei hoher Frequenz nahe −270°, nicht irgendwo zwischen −180° und +180°. Diese Simulation „entpackt“ die rohe Arkustangens-Ausgabe, sodass die Phasenkurve kontinuierlich verläuft, statt jedes Mal zurückzuspringen, wenn der rohe Winkel über ±180° springen würde — wesentlich, um die −180°-Phasendurchgangsfrequenz korrekt zu finden.

Kreuzt die Amplitudenkurve im gewählten Frequenzbereich nirgends 0 dB, gibt es keine Verstärkungsdurchgangsfrequenz, und die Phasenreserve kann so nicht bestimmt werden — die Schleifenverstärkung liegt im durchlaufenen Band entweder durchweg unter oder über eins. Ebenso gibt es keine endliche Verstärkungsreserve, wenn die Phase im Bereich nie −180° erreicht. Eine Erweiterung des Frequenzbereichs mit den Reglern ω min / ω max zeigt den Durchgang meist, sofern er überhaupt existiert.

Ein Pol bei s = 0 macht G(s) zu einem „Typ-1“-System, das einen freien Integrator enthält; Typ-1-Systeme sind in der Praxis üblich (Motorpositionsregelung, Füllstandsregelung), weil der Integrator den stationären Fehler bei einer Sprungeingabe auf null treibt. Sie sind auch ein Standardbeispiel für die Bode-Analyse, weil ihre Phase bei niedriger Frequenz bei −90° beginnt und ihre Verstärkungsreserve endlich und verstärkungsabhängig ist, was die Stabilitätsgrenze durch Verschieben von K leicht sichtbar macht.