UK 
EnglishТипова
Polski📊 Дослідник Імовірнісних Розподілів
Інтерактивний дослідник PDF та CDF: Нормальний, Біноміальний, Пуасона, Показниковий та Рівномірний розподіли. Регулюйте параметри та порівнюйте два розподіли.
Схожі симуляції
Про Дослідник Імовірнісних Розподілів
Цей інструмент будує графіки семи основних розподілів імовірностей — нормального, Пуассона, показникового, біноміального, бета, рівномірного та хі-квадрат — у вигляді функції густини (PDF) або кумулятивної функції (CDF). Неперервні густини малюються як гладкі криві на сітці з 600 точок, а дискретні розподіли показані стовпчиками. Кожен обчислюється за точною замкнутою формулою, а важчу математику виконують спеціальні функції: логарифм гамма-функції (наближення Ланцоша), функція помилок та регуляризовані неповні гамма- і бета-функції.
Вкладки розподілів і повзунки параметрів дозволяють задати значення на кшталт середнього та стандартного відхилення нормального розподілу, частоти Пуассона й показникового розподілу, кількості випробувань і ймовірності успіху біноміального розподілу, параметрів форми бета-розподілу, меж рівномірного розподілу та ступенів свободи хі-квадрат. Поля інтервалу заштриховують і обчислюють P(a < X < b), панель показує середнє, дисперсію, асиметрію, ексцес і квартилі, а накладання порівнює два розподіли одночасно. Ці розподіли лежать в основі статистики, моделювання ризиків, контролю якості та машинного навчання.
Часті запитання
Що таке розподіл імовірностей?
Розподіл імовірностей описує, наскільки ймовірне кожне можливе значення випадкової величини. Для неперервних величин це передає функція густини ймовірності (PDF), площа під якою дає ймовірність; для дискретних величин — функція ймовірності, що приписує ймовірність кожному результату. Дослідник дозволяє переглядати й порівнювати сім найпоширеніших розподілів.
Яка різниця між виглядом PDF і CDF?
PDF (або PMF для дискретних випадків) показує густину чи ймовірність у кожній точці, тож пік вказує на найімовірнішу область. CDF, F(x), показує накопичену ймовірність того, що величина не перевищує x, зростаючи від 0 до 1. Перемикайте кнопки PDF і CDF, щоб переходити між режимами; вигляд CDF завжди використовує фіксовану вертикальну шкалу від 0 до 1.
Як працює обчислення P(a < X < b)?
Введіть значення a і b — інструмент заштрихує цю область PDF і повідомить імовірність. Результат обчислюється точно як F(b) − F(a) за допомогою кумулятивної функції кожного розподілу: для нормального використовується функція помилок, для бета й хі-квадрат — регуляризовані неповні функції, а для дискретних розподілів підсумовуються відповідні маси ймовірності.
Які сім розподілів включає дослідник?
Він охоплює нормальний N(μ, σ), Пуассона(λ), показниковий(λ), біноміальний(n, p), бета(α, β), рівномірний на [a, b] та хі-квадрат із k ступенями свободи. Пуассона й біноміальний — дискретні й показані стовпчиками, решта — неперервні криві.
Що означають асиметрія та ексцес?
Асиметрія вимірює несиметричність: нуль для симетричних розподілів, як-от нормальний і рівномірний, додатна, коли довгий хвіст витягнутий праворуч, як у показникового або хі-квадрат з малою кількістю ступенів свободи. Надлишковий ексцес вимірює важкість хвостів відносно нормального розподілу, який має нульовий надлишковий ексцес; від'ємні значення, як −1.2 у рівномірного, вказують на легші хвости й плоскішу форму.
Чому Пуассона й біноміальний показані стовпчиками, а не кривими?
Обидва — дискретні розподіли, визначені лише в цілих точках, тож неперервна крива була б оманливою. Дослідник малює стовпчик у кожній цілій точці k, висота якого дорівнює P(X = k). Біноміальний рахує успіхи в n незалежних випробуваннях, а Пуассона — кількість подій у фіксованому інтервалі із середньою частотою λ; обидва показані по всьому цілочисловому діапазону.
Наскільки точні обчислені значення?
Математика використовує стандартні високоточні методи: наближення Ланцоша для логарифма гамма-функції, раціональне наближення для функції помилок і розклади в неперервний дріб або ряд для регуляризованих неповних бета- й гамма-функцій. Квантилі для розподілів без замкнутої форми знаходяться бінарним пошуком по CDF, що дає точність до багатьох десяткових знаків для типових діапазонів параметрів.
Який зв'язок між розподілами Пуассона та показниковим?
Вони описують один і той самий процес з різних боків. Якщо події трапляються випадково з постійною середньою частотою λ, кількість подій у фіксованому інтервалі підпорядковується розподілу Пуассона, а час очікування між послідовними подіями — показниковому розподілу. Показниковий розподіл також не має пам'яті: ймовірність чекати ще t не залежить від того, скільки вже чекали.
Чому бета-розподіл корисний у баєсівській статистиці?
Бета-розподіл визначений на інтервалі [0, 1], тож природно моделює невідому ймовірність чи частку. Він є спряженим апріорним для правдоподібностей Бернуллі й біноміальної, тож оновлення бета-апріорного спостереженими успіхами й невдачами дає знову бета-розподіл. Якщо обидва параметри форми дорівнюють 1, отримуємо рівномірний розподіл як окремий випадок.
Де ці розподіли використовуються в реальному світі?
Нормальний моделює похибку вимірювань і сукупні величини завдяки центральній граничній теоремі; Пуассона — надходження дзвінків у кол-центр або рідкісні події; показниковий — час між відмовами; біноміальний — результати опитувань і клінічних випробувань; хі-квадрат лежить в основі тестів на відповідність і незалежність; бета й рівномірний повсюдно застосовуються в баєсівському висновку, моделюванні та генерації випадкових чисел.