📊 Explorador de Distribuciones de Probabilidad

Cubre la Normal N(μ, σ), Poisson(λ), Exponencial(λ), Binomial(n, p), Beta(α, β), Uniforme en [a, b] y Chi-cuadrado con k grados de libertad. Poisson y Binomial son discretas y se dibujan como barras, mientras que las demás son curvas continuas.

La asimetría mide la falta de simetría: cero para distribuciones simétricas como la Normal y la Uniforme, positiva cuando una cola larga se extiende hacia la derecha, como en la Exponencial o la Chi-cuadrado de bajo grado. La curtosis en exceso mide el peso de las colas en relación con la Normal, que tiene curtosis en exceso cero; valores negativos, como el −1.2 de la Uniforme, indican colas más ligeras y una forma más plana.

Ambas son distribuciones discretas definidas solo en valores enteros, por lo que una curva continua sería engañosa. El explorador dibuja una barra en cada entero k cuya altura es igual a P(X = k). La Binomial cuenta éxitos en n ensayos independientes, mientras que la Poisson cuenta eventos en un intervalo fijo a una tasa media λ; ambas se representan en todo su rango entero.

Las matemáticas utilizan métodos estándar de alta precisión: una aproximación de Lanczos para la función log-gamma, una aproximación racional para la función de error, y expansiones de fracción continua o series para las funciones beta y gamma incompletas regularizadas. Los cuantiles de distribuciones sin forma cerrada se encuentran mediante búsqueda binaria sobre la CDF, dando resultados precisos con muchos decimales para rangos de parámetros habituales.

Describen el mismo proceso subyacente desde ángulos diferentes. Si los eventos ocurren aleatoriamente a una tasa media constante λ, el número de eventos en un intervalo fijo sigue una distribución de Poisson, mientras que el tiempo de espera entre eventos consecutivos sigue una distribución Exponencial. La Exponencial también carece de memoria, lo que significa que la probabilidad de esperar un tiempo adicional t no se ve afectada por cuánto se ha esperado ya.

La distribución Beta está definida en el intervalo [0, 1], lo que la convierte en un modelo natural para una probabilidad o proporción desconocida. Es la distribución previa conjugada para las verosimilitudes Bernoulli y Binomial, de modo que actualizar una previa Beta con éxitos y fracasos observados produce otra distribución Beta. Fijar ambos parámetros de forma en 1 recupera la distribución Uniforme como caso especial.

La Normal modela el error de medición y cantidades agregadas mediante el Teorema del Límite Central; la Poisson modela llegadas a un centro de llamadas o recuentos de eventos raros; la Exponencial modela el tiempo entre fallos; la Binomial modela encuestas y resultados de ensayos clínicos; la Chi-cuadrado sustenta las pruebas de bondad de ajuste e independencia; y la Beta y la Uniforme aparecen a lo largo de la inferencia bayesiana, la simulación y la generación de números aleatorios.