📊 Explorateur de distributions de probabilité

Il couvre la loi Normale N(μ, σ), Poisson(λ), Exponentielle(λ), Binomiale(n, p), Bêta(α, β), Uniforme sur [a, b] et Chi-carré à k degrés de liberté. Trois sont discrètes ou continues selon le cas — Poisson et Binomiale sont discrètes et représentées par des barres, tandis que les autres sont des courbes continues.

L'asymétrie mesure la dissymétrie : nulle pour des distributions symétriques comme la Normale et l'Uniforme, positive lorsqu'une longue queue s'étend vers la droite, comme pour l'Exponentielle ou le Chi-carré à faible degré. L'aplatissement en excès mesure l'épaisseur des queues par rapport à la Normale, dont l'aplatissement en excès est nul ; des valeurs négatives, comme le −1,2 de l'Uniforme, indiquent des queues plus légères et une forme plus plate.

Les deux sont des distributions discrètes définies uniquement pour des valeurs entières, donc une courbe continue serait trompeuse. L'explorateur trace une barre à chaque entier k dont la hauteur correspond à P(X = k). La Binomiale compte les succès sur n essais indépendants, tandis que la Poisson compte les événements dans un intervalle fixe à un taux moyen λ ; les deux sont tracées sur toute leur plage entière.

Les mathématiques utilisent des méthodes standard à haute précision : une approximation de Lanczos pour la fonction log-gamma, une approximation rationnelle pour la fonction d'erreur, et des développements en fraction continue ou en série pour les fonctions bêta et gamma incomplètes régularisées. Les quantiles pour les distributions sans forme fermée sont trouvés par recherche binaire sur la CDF, donnant des résultats précis à de nombreuses décimales pour des plages de paramètres classiques.

Elles décrivent le même processus sous-jacent sous des angles différents. Si des événements se produisent aléatoirement à un taux moyen constant λ, le nombre d'événements dans un intervalle fixe suit une distribution de Poisson, tandis que le temps d'attente entre deux événements consécutifs suit une distribution Exponentielle. L'Exponentielle est également sans mémoire, ce qui signifie que la probabilité d'attendre un temps t supplémentaire n'est pas affectée par le temps déjà écoulé.

La distribution Bêta est définie sur l'intervalle [0, 1], ce qui en fait un modèle naturel pour une probabilité ou une proportion inconnue. C'est la loi conjuguée pour les vraisemblances de Bernoulli et Binomiale, donc mettre à jour une loi Bêta a priori avec des succès et des échecs observés donne une autre distribution Bêta. Fixer les deux paramètres de forme à 1 redonne la distribution Uniforme comme cas particulier.

La loi Normale modélise l'erreur de mesure et les quantités agrégées via le théorème central limite ; la Poisson modélise les arrivées en centre d'appels ou le comptage d'événements rares ; l'Exponentielle modélise le temps entre pannes ; la Binomiale modélise les sondages et les résultats d'essais cliniques ; le Chi-carré est à la base des tests d'ajustement et d'indépendance ; et les lois Bêta et Uniforme apparaissent partout en inférence bayésienne, simulation et génération de nombres aléatoires.