UK 
EnglishТипова
Polski📊 Нормальний розподіл та ЦГТ — Інтерактивний симулятор
Досліджуйте нормальний розподіл інтерактивно. Змінюйте μ і σ, спостерігайте PDF і CDF. Центральна гранична теорема: кидайте кубики та дивіться, як сума сходиться до кривої Гауса.
Схожі симуляції
Про цю симуляцію
Ця симуляція дозволяє досліджувати нормальний (гаусів) розподіл і спостерігати, як у реальному часі розгортається центральна гранична теорема. У режимі PDF/CDF ви безпосередньо формуєте дзвоноподібну криву, перетягуючи її середнє μ і стандартне відхилення σ, а також затінюєте будь-який інтервал, щоб зчитати його ймовірність. У режимі ЦГТ ви кидаєте набір віртуальних кубиків тисячі разів і спостерігаєте, як гістограма їхніх сум перетворюється з блокової рівномірної форми на гладку гаусову криву — саме так, як передбачає теорема. CDF обчислюється за замкненим наближенням функції помилок, а не за таблицею значень, тож кожна крива оновлюється миттєво під час перетягування повзунка.
🔬 Що це показує
У режимі PDF/CDF зелена крива — це функція густини ймовірності N(μ,σ²), а напівпрозора синя крива — її кумулятивна функція розподілу; заштрихована зелена область між x₁ і x₂ — це ймовірнісна маса в цьому інтервалі. У режимі ЦГТ рожева крива накладає теоретичне нормальне наближення (середнє n·(грані+1)/2, дисперсія n·(грані²−1)/12) поверх живої гістограми, побудованої з реальних симульованих кидків кубиків.
🎮 Як користуватися
Перемикайтеся між кнопками PDF/CDF і Демонстрація ЦГТ, щоб змінити режим. У режимі PDF/CDF перетягуйте повзунки Середнє μ, Стандартне відхилення σ та x₁/x₂ затінення, щоб побачити оновлення значення площі. У режимі ЦГТ задайте Кількість кубиків n і Кількість граней, тоді натискайте +1, +100 або +1000, щоб додати кинуті суми до гістограми, або Скинути, щоб очистити її й почати заново.
💡 Чи знали ви?
Центральна гранична теорема працює незалежно від того, наскільки перекошеним є вихідний розподіл. Навіть один рівномірний кубик (значення 0–5) має плаский, прямокутний розподіл, але сума лише п'яти чи шести кубиків уже виглядає переконливо дзвоноподібною — натяк на те, чому так багато природних вимірювань виявляються приблизно нормально розподіленими.
Часті запитання
Що контролюють μ і σ у цій симуляції?
μ (мю) — це середнє, яке зсуває всю дзвоноподібну криву ліворуч чи праворуч уздовж осі x, не змінюючи її форми. σ (сигма) — це стандартне відхилення, яке визначає, наскільки широкою чи вузькою є крива: мале σ дає високий вузький пік поблизу середнього, а велике σ розподіляє ймовірнісну масу на ширший діапазон значень.
Що насправді означає заштрихована область між x₁ і x₂?
Вона показує ймовірність того, що випадкове значення, взяте з цього нормального розподілу, потрапить між x₁ і x₂. Обчислюється як різниця CDF у двох точках, Φ(x₂) − Φ(x₁), і відображається у відсотках. Це той самий розрахунок, що лежить в основі відомого правила 68-95-99,7 для інтервалів ±1σ, ±2σ і ±3σ.
Як демонстрація ЦГТ насправді симулює кидки кубиків?
Кожен «кидок» бере n незалежних випадкових цілих чисел рівномірно від 0 до (граней−1) за допомогою Math.random() у JavaScript і підсумовує їх. Натискання +1, +100 або +1000 повторює цей процес відповідну кількість разів і додає кожну суму до поточної гістограми, тож можна спостерігати, як емпіричний розподіл будується вибірка за вибіркою або великими партіями.
Чому гістограма спочатку блокова, а потім виглядає гладкою?
При малій кількості вибірок стовпчики гістограми шумні, оскільки кожен кошик містить лише кілька значень, тож випадкові коливання добре помітні. Коли ви додаєте сотні чи тисячі нових кидків, закон великих чисел усереднює цей шум, і стовпчики набувають гладкої дзвоноподібної форми, передбаченої центральною граничною теоремою, дедалі точніше збігаючись із рожевою теоретичною кривою.
Чи обчислюється крива CDF точно, чи наближено?
Вона використовує добре відоме замкнене чисельне наближення функції помилок (erf) із точністю приблизно 1,5×10⁻⁷, а не точну аналітичну формулу, оскільки нормальна CDF не має елементарного замкненого вигляду. Це наближення достатньо швидке, щоб перераховуватися при кожному русі повзунка, залишаючись невідрізненним від справжньої CDF для практичних і навчальних цілей.