Was bedeutet die schattierte Fläche zwischen x1 und x2 eigentlich?

Sie stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein aus dieser Normalverteilung gezogener Zufallswert zwischen x1 und x2 liegt. Sie wird als Differenz der CDF an den beiden Punkten berechnet und als Prozentsatz angezeigt. Das ist dieselbe Berechnung, die hinter der bekannten 68-95-99,7-Regel für die Intervalle von plus/minus 1, 2 und 3 Standardabweichungen steht.

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📊 Normalverteilung & Zentraler Grenzwertsatz — Interaktiver Simulator

Entdecke die Normalverteilung interaktiv. Passe μ und σ an, beobachte PDF und CDF und erlebe den Zentralen Grenzwertsatz live: Stichprobenmittelwerte konvergieren zur Gaußverteilung, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung.

Statistik3DEinfach60 FPS

Über diese Simulation

Diese Simulation lässt dich die Normal- (Gauß-)Verteilung erkunden und den Zentralen Grenzwertsatz live entstehen sehen. Im PDF/CDF-Modus formst du eine Glockenkurve direkt, indem du ihren Mittelwert μ und ihre Standardabweichung σ ziehst, und schattierst ein beliebiges Intervall, um dessen Wahrscheinlichkeit abzulesen. Im CLT-Modus würfelst du mit einem konfigurierbaren Satz virtueller Würfel Tausende Male und beobachtest, wie sich das Histogramm ihrer Summen von einer blockigen Gleichverteilung in eine glatte Gaußkurve verwandelt — genau wie es der Satz vorhersagt. Die CDF wird mit einer geschlossenen erf-Näherung statt einer Nachschlagetabelle berechnet, sodass sich jede Kurve sofort aktualisiert, sobald du einen Schieberegler ziehst.

🔬 Was gezeigt wird

Im PDF/CDF-Modus ist die grüne Kurve die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion N(μ,σ²) und die durchscheinende blaue Kurve ihre kumulative Verteilungsfunktion; die schattierte grüne Fläche zwischen x₁ und x₂ ist die Wahrscheinlichkeitsmasse in diesem Intervall. Im CLT-Modus überlagert die rosa Kurve die theoretische Normalnäherung (Mittelwert n·(Seiten+1)/2, Varianz n·(Seiten²−1)/12) über ein live erstelltes Histogramm aus tatsächlich simulierten Würfelwürfen.

🎮 Bedienung

Wechsle zwischen den Schaltflächen PDF/CDF und CLT-Demo, um den Modus zu ändern. Im PDF/CDF-Modus ziehst du an Mittelwert μ, Standardabweichung σ und den x₁/x₂-Schattierungsreglern, um die Flächenanzeige zu aktualisieren. Im CLT-Modus stellst du Würfelanzahl n und Würfelseiten ein und drückst dann +1, +100 oder +1000, um gewürfelte Summen zum Histogramm hinzuzufügen, oder Zurücksetzen, um es zu leeren und neu zu beginnen.

💡 Wusstest du schon?

Der Zentrale Grenzwertsatz funktioniert unabhängig davon, wie schief die ursprüngliche Verteilung ist. Selbst ein einzelner gleichverteilter Würfel (Werte 0–5) hat eine flache, rechteckige Verteilung, aber die Summe von nur fünf oder sechs Würfeln sieht bereits überzeugend glockenförmig aus — ein Hinweis darauf, warum so viele natürliche Messungen näherungsweise normalverteilt enden.

Häufig gestellte Fragen

Was steuern μ und σ in dieser Simulation?

μ (mu) ist der Mittelwert, der die gesamte Glockenkurve nach links oder rechts entlang der x-Achse verschiebt, ohne ihre Form zu verändern. σ (sigma) ist die Standardabweichung, die bestimmt, wie breit oder schmal die Kurve ist: Ein kleines σ erzeugt einen hohen, schmalen Gipfel nahe dem Mittelwert, während ein großes σ die Wahrscheinlichkeitsmasse über einen weiteren Wertebereich verteilt.

Was bedeutet die schattierte Fläche zwischen x₁ und x₂ eigentlich?

Sie stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein aus dieser Normalverteilung gezogener Zufallswert zwischen x₁ und x₂ liegt. Sie wird als Differenz der CDF an den beiden Punkten, Φ(x₂) − Φ(x₁), berechnet und als Prozentsatz angezeigt. Das ist dieselbe Berechnung, die hinter der bekannten 68-95-99,7-Regel für die ±1σ-, ±2σ- und ±3σ-Intervalle steht.

Wie simuliert die CLT-Demo eigentlich Würfelwürfe?

Jeder „Wurf" zieht n unabhängige zufällige Ganzzahlen gleichverteilt von 0 bis (Seiten−1) mithilfe von JavaScripts Math.random() und summiert sie. Ein Klick auf +1, +100 oder +1000 wiederholt diesen Vorgang entsprechend oft und fügt jede Summe einem laufenden Histogramm hinzu, sodass du beobachten kannst, wie sich die empirische Verteilung Stichprobe für Stichprobe oder in großen Stapeln aufbaut.

Warum wirkt das Histogramm anfangs blockig und dann glatt?

Bei wenigen Stichproben sind die Histogrammbalken verrauscht, weil jedes Bin nur eine Handvoll Zählungen enthält, sodass zufällige Schwankungen deutlich sichtbar sind. Wenn du Hunderte oder Tausende weiterer Würfe hinzufügst, mittelt das Gesetz der großen Zahlen dieses Rauschen heraus, und die Balken pendeln sich in die glatte Glockenform ein, die der Zentrale Grenzwertsatz vorhersagt, und nähern sich zunehmend der rosa theoretischen Kurve an.

Wird die CDF-Kurve exakt berechnet oder angenähert?

Es wird eine bekannte geschlossene numerische Näherung der Fehlerfunktion (erf) verwendet, genau bis auf etwa 1,5×10⁻⁷, statt einer exakten analytischen Formel, da die Normal-CDF keine elementare geschlossene Form besitzt. Diese Näherung ist schnell genug, um bei jeder Schieberegler-Bewegung neu berechnet zu werden, während sie für praktische und pädagogische Zwecke von der wahren CDF nicht zu unterscheiden ist.

⚙ Unter der Haube

Passe μ und σ an, um PDF und CDF neu zu formen, und beobachte, wie der Zentrale Grenzwertsatz Stichprobenmittelwerte zu einer Gaußkurve zieht.

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