UK 
EnglishТипова
Polski📏 Поширення Похибок та Невизначеність
Якщо z = f(x,y), то σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² (лінійне поширення). Монте-Карло підтверджує аналітичні результати. Конструктор формул.
Як це працює
Лінійне поширення похибок (розкладання Тейлора першого порядку) дає невизначеність результату як суму в квадратурі частинних похідних, помножених на невизначеності вхідних величин. Для некорельованих входів x та y зі стандартними відхиленнями σ_x та σ_y:
Симуляція Монте-Карло генерує N вибірок з гаусових розподілів вхідних величин, обчислює z для кожної вибірки та визначає емпіричне середнє й стандартне відхилення. Гістограма має збігатися з аналітичною гаусовою кривою для лінійних функцій і виявляти скіс/асиметрію для нелінійних.
Часті запитання
Що таке поширення похибок?
Поширення похибок (поширення невизначеності) — це вплив невизначеностей вхідних даних на невизначеність обчисленого результату. Якщо z = f(x, y), невизначеність результату σ_z залежить від невизначеностей входів σ_x, σ_y та частинних похідних f.
Яка формула лінійного (першого порядку) поширення похибок?
Для некорельованих входів: σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y². Це виводиться з розкладання Тейлора першого порядку функції f навколо середніх значень. Це точно для лінійних функцій і наближено для нелінійних.
Коли лінійне поширення похибок дає збій?
Лінійне поширення дає збій, коли функція сильно нелінійна в діапазоні невизначеності вхідних даних, або коли невизначеності входів великі відносно масштабу функції. У цих випадках симуляція Монте-Карло дає точніші результати.
Як працює невизначеність методу Монте-Карло?
Аналіз невизначеності методом Монте-Карло генерує багато випадкових вибірок із вхідних розподілів (зазвичай гаусових із середнім ± стандартним відхиленням), обчислює функцію для кожної вибірки та визначає стандартне відхилення вихідних вибірок.
Яка невизначеність суми z = x + y?
Для z = x + y з некорельованими x, y: σ_z = √(σ_x² + σ_y²). Абсолютні невизначеності додаються в квадратурі.
Яка невизначеність добутку z = x·y?
Для z = x·y: (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)². Відносні невизначеності додаються в квадратурі.
Яка невизначеність z = x^n?
Для z = x^n: σ_z/z = |n| · σ_x/x. Степені підсилюють відносну невизначеність у |n| разів.
Що таке коефіцієнт охоплення та довірчий інтервал?
Коефіцієнт охоплення k множить стандартну невизначеність, щоб отримати розширену невизначеність на бажаному рівні довіри. k=1 дає 68%, k=2 дає 95%, k=3 дає 99,7% для нормальних розподілів.
У чому різниця між точністю та прецизійністю?
Точність описує близькість до справжнього значення (систематична похибка / зміщення). Прецизійність описує відтворюваність — близькість повторних вимірювань одне до одного (випадкова похибка / стандартне відхилення).
Що таке GUM і чому це важливо?
Настанова щодо вираження невизначеності вимірювання (GUM), опублікована BIPM, надає міжнародно стандартизовані методи оцінювання та вираження невизначеності вимірювання. Вона визначає оцінювання типу A (статистичне) та типу B (за іншими засобами).
Про цю симуляцію
Ця симуляція порівнює два способи знаходження невизначеності z = f(x,y): аналітичну формулу Тейлора першого порядку σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y², та підхід методом Монте-Карло «грубої сили», який генерує тисячі випадкових пар (x,y) з гаусових розподілів і обчислює z для кожної безпосередньо. Червона аналітична гаусова крива накладається на синю гістограму Монте-Карло, тож ви можете точно бачити, коли два методи узгоджуються, а коли розходяться.
🔬 Що це показує
Гістограму значень z, вибраних методом Монте-Карло, з накладеною аналітичною гаусовою кривою, пунктирною лінією, що позначає середнє Монте-Карло, затіненою смугою ±1σ та панеллю статистики, що порівнює аналітичні та Монте-Карло середні, стандартні відхилення та їхню відносну різницю.
🎮 Як користуватися
Оберіть формулу (сума, різниця, добуток, відношення, квадрат або гіпотенуза) зі спадного списку, встановіть середнє та σ для x та y повзунками, налаштуйте кількість вибірок Монте-Карло та натисніть «Перегенерувати», щоб перемалювати порівняння.
💡 Чи знали ви?
Для лінійних формул z=x+y та z=x−y аналітична й Монте-Карло криві мають накладатися майже ідеально незалежно від того, наскільки великими стають σ_x та σ_y — але перемкніться на z=√(x²+y²) або z=x·y і збільшіть невизначеність входів, і ви побачите, як гістограма помітно скошується від симетричної гаусової кривої.
Часті запитання
Чому аналітичне та Монте-Карло значення σ_z іноді розходяться?
Аналітична формула — це наближення Тейлора першого порядку, дійсне лише коли функція майже лінійна в діапазоні, охопленому невизначеностями входів; для дійсно нелінійних формул, таких як z=x² або z=√(x²+y²), збільшення σ_x або σ_y відносно середнього змушує справжній розподіл скошуватися від гаусового, що безпосередньо кількісно показує статистика «Відносна різниця».
Чому z = x² поводиться настільки інакше, ніж z = x + y?
Додавання є точно лінійним, тому його частинні похідні (обидві дорівнюють 1) постійні всюди, і формула першого порядку точна незалежно від σ; піднесення до квадрата має похідну 2x, яка змінюється залежно від самого x, тож поширена невизначеність є лише локальним лінійним наближенням — збільшення σ_x для формули z=x² є найшвидшим способом побачити, як гістограма помітно відхиляється від червоної аналітичної кривої.
Що насправді покращує підвищення повзунка кількості вибірок Монте-Карло?
Більше вибірок зменшують статистичний шум самої оцінки Монте-Карло (емпіричне середнє та стандартне відхилення збігаються до своїх справжніх значень зі зростанням кількості вибірок), даючи плавнішу гістограму — це не змінює, чи є базова функція лінійною, тож це не виправить розходження, спричинене справжньою нелінійністю.
Чому формула добутку z = x·y потребує відносних, а не абсолютних невизначеностей?
Тому що ∂(xy)/∂x = y та ∂(xy)/∂y = x, і підстановка в загальну формулу з подальшим діленням на z=xy алгебраїчно спрощується до (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)² — саме тому формули добутку й відношення традиційно виражають у дробовій/відсотковій невизначеності, а не в абсолютній.
Чому гістограма іноді виглядає асиметричною, навіть коли обидва входи ідеально гаусові?
Будь-яке нелінійне перетворення симетричного розподілу може вносити скіс — наприклад, ділення двох гаусових величин (z=x/y) дає розподіл із важчими хвостами, ніж будь-який із входів, особливо коли невизначеність y достатньо велика, щоб вибірки могли наближатися до нуля — випадок, який припущення про сталу похідну лінійної формули не може врахувати.