Синя лінія = теоретична PMF · Червона крива = апроксимація Гаусса · Стовпці = реальна кількість
Дошка Гальтона (або "бобова машина"), винайдена сером Френсісом Гальтоном у 1873 році, — це фізичний пристрій, що демонструє виникнення нормального (гаусового) розподілу з безлічі випадкових бінарних рішень. Кулі падають крізь трикутну решітку штирів; на кожному штирі куля з рівною ймовірністю відхиляється ліворуч або праворуч. Пройшовши крізь N рядів штирів, кожна куля здійснює N незалежних бінарних виборів і потрапляє в один з N+1 відсіків унизу. Розподіл куль по відсіках наближається до біноміального розподілу, який зі зростанням N збігається до нормального.
Математичну основу становить біноміальний розподіл: після N рядів імовірність того, що куля потрапить у відсік k (рахуючи зліва), дорівнює C(N,k)·(0,5)^N. Для великих N, за центральною граничною теоремою (ЦГТ), цей розподіл наближається до гаусового із середнім N/2 і дисперсією N/4, що дає стандартне відхилення √(N)/2. ЦГТ загалом стверджує, що сума багатьох незалежних однаково розподілених випадкових величин — незалежно від їхнього власного розподілу — прямує до нормального розподілу. Саме тому багато природних вимірювань (зріст, результати тестів, похибки вимірювань) підпорядковуються дзвоноподібній кривій.
Цей симулятор кидає кулі крізь дошку Гальтона і показує зростаючу гістограму поряд із теоретичним біноміальним/гаусовим розподілом. Ви можете керувати кількістю рядів, початковим зміщенням (роблячи відхилення ліворуч/праворуч нерівноймовірними) та швидкістю випуску куль, щоб дослідити, наскільки швидко розподіл збігається до нормального, як нерівні ймовірності зсувають розподіл і як розмір вибірки впливає на відповідність між емпіричною гістограмою та теоретичною кривою.
Чому дошка Гальтона породжує нормальний розподіл?
Кожна куля робить N незалежних бінарних виборів (ліворуч або праворуч на кожному штирі). Загальне зміщення від центру дорівнює кількості відхилень праворуч мінус кількість відхилень ліворуч — тобто сумі N незалежних випадкових величин ±1. За центральною граничною теоремою сума багатьох незалежних випадкових величин із будь-яким розподілом прямує до гаусового. Для дошки Гальтона зокрема, з N рядами й рівними ймовірностями, результат є точно біноміальним, який наближається до нормального зі зростанням N завдяки наближенню Стірлінга для факторіалів.
Що таке центральна гранична теорема?
Центральна гранична теорема (ЦГТ) стверджує, що якщо підсумувати (або усереднити) велику кількість незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченним середнім μ та дисперсією σ², результуючий розподіл наближається до нормального розподілу із середнім Nμ та дисперсією Nσ², незалежно від форми початкового розподілу. Саме тому гаусові розподіли настільки поширені в природі: будь-яка виміряна величина, що є результатом багатьох незалежних адитивних внесків (тепловий шум, похибки вимірювань, біологічні ознаки, на які впливають багато генів), буде приблизно нормально розподілена.
Що відбувається, якщо штирі зміщені (нерівна ймовірність ліворуч/праворуч)?
Якщо ймовірність відхилення праворуч на кожному штирі дорівнює p ≠ 0.5, результуючий розподіл є біноміальним із середнім Np та дисперсією Np(1−p). Розподіл зміщується від центру: при p > 0.5 кулі накопичуються праворуч; p < 0.5 зсуває пік ліворуч. Форма залишається дзвоноподібною (усе ще прямує до гаусової за ЦГТ), але скошена для малих N і стає симетричною лише в границі. Зміщені дошки Гальтона моделюють процеси, де результати нерівноймовірні — наприклад, зважена монета або генетична ознака з домінантністю.
Кількість шляхів через дошку Гальтона, що ведуть до відсіку k (від 0 зліва) після N рядів, дорівнює біноміальному коефіцієнту C(N,k) — це точно елементи трикутника Паскаля. Ряд N трикутника Паскаля дає ненормовані кількості куль у відсіках: ряд 4 — це 1,4,6,4,1, тобто при 4 штирях центральний відсік у 6 разів імовірніший за крайні. Біноміальні коефіцієнти зростають за правилом Паскаля C(N,k) = C(N-1,k-1) + C(N-1,k), що відображає той факт, що кожен відсік отримує кулі з двох відсіків безпосередньо над ним у попередньому ряду.
Нормальний розподіл, що виникає за принципом дошки Гальтона, лежить в основі статистики та контролю якості в науці й інженерії. Похибки вимірювань у фізичних лабораторіях підпорядковуються гаусовим розподілам; z-тест і t-тест для перевірки статистичної значущості припускають нормальність. Контроль якості у виробництві використовує контрольні карти на основі нормального розподілу для виявлення відхилень процесу. Стандартизовані результати тестів спроєктовано так, щоб бути нормально розподіленими. У фінансах щоденна дохідність активів приблизно (хоча й не точно) гаусова, що лежить в основі моделі ціноутворення опціонів Блека-Шоулза та розрахунків показника Value-at-Risk.
Ряди (від 5 до 16) задають, крізь скільки рядів штирів проходить куля, що дорівнює числу незалежних бінарних виборів N у біноміальній моделі. Більше рядів означає більше можливих відсіків приземлення (N+1) і тонше дискретизацію дзвоноподібної кривої, тож гістограма дедалі більше нагадує гладкий гаусів розподіл замість блочних сходинок — саме так центральна гранична теорема наочно проявляється зі зростанням числа підсумованих випадкових кроків.
Дисперсія біноміального розподілу дошки дорівнює Np(1-p), що для стандартного p = 0,5 дає N/4 — тобто розкид можливих результатів зростає пропорційно N, хоча стандартне відхилення зростає лише як квадратний корінь з N. З більшою кількістю рядів куля може приземлитися в більше відсіків, розташованих далі від центру, тому видима ширина гістограми зростає, навіть коли її форма стає точніше дзвоноподібною.
Радіус кулі (від 3 до 8 пікселів) — це суто параметр відображення, який змінює розмір кожної кулі на екрані. Логіка відскоку від штирів, що вирішує, чи відхилиться куля ліворуч чи праворуч на кожному ряду, цим повзунком не зачіпається, тож статистичний розподіл по відсіках лишається таким самим незалежно від того, чи кулі намальовані маленькими крапками, чи більшими колами.
Кінцевий відсік однієї кулі — це лише один випадковий зразок біноміального розподілу, який майже нічого не каже про справжню форму. Скидання сотень чи тисяч куль будує гістограму багатьох незалежних зразків, і за законом великих чисел ця емпірична гістограма наближається до справжнього біноміального (майже гаусового) розподілу ймовірностей.
Симуляція за замовчуванням використовує рівну ймовірність відхилення ліворуч чи праворуч на кожному штирі, що відповідає класичній симетричній дошці Гальтона й дає розподіл, центрований на середньому відсіку. Навіть невеликі відхилення від 50/50 змістили б середнє біноміального розподілу до одного боку, але загальна дзвоноподібна форма зберігається, бо центральна гранична теорема діє для будь-якої фіксованої ймовірності на штирі, а не лише для p = 0,5.