UK 
EnglishТипова
Polski🦅 Політ Леві
Симулятор польоту Леві та аномальної дифузії. Показник стійкості α контролює важкість хвоста: α=2 — броунівський рух, α→1 — рідкісні далекі стрибки. Гістограма довжин кроків у лог-лог шкалі демонструє степеневий хвіст P(l) ~ l^−(1+α). Алгоритм Мантеньї точно вибирає симетричний α-стійкий розподіл.
Про цю симуляцію
Ця симуляція генерує довжини кроків випадкового блукання з симетричного α-стійкого (Леві) розподілу, використовуючи алгоритм Мантеньї, тож розмір стрибка кожного блукача слідує степеневому хвосту P(l) ∝ l−(1+α) замість тонкохвостих гаусівських кроків звичайного броунівського руху. Перетягування показника стійкості α від 2,0 до 1,05 змінює блукання від гладкої, рівномірної дифузії до справжньої поведінки польоту Леві: довгі серії малих кроків, перервані рідкісними, величезними стрибками. Живий log-log гістограма довжин кроків у реальному часі показує формування степеневого хвоста, поряд із червоною еталонною лінією при теоретичному нахилі −(1+α).
🔬 Що показано
До 8 незалежних блукачів рухаються у 2D, довжина кожного кроку взята через алгоритм Мантеньї (відношення двох гаусівських величин, піднесене до степеня 1/α), а напрямок кожного кроку обирається рівномірно випадково. Полотно шляху польоту малює траєкторію кожного блукача; полотно розподілу групує кожну зафіксовану довжину кроку в log-log шкалі, тож пряма лінія хвоста підтверджує степеневу поведінку, передбачену для α < 2.
🎮 Як користуватись
Перетягніть повзунок показника стійкості α (1,05–2,0), щоб переміщатися між важкохвостим польотом Леві та звичайним броунівським рухом — α=2,0 перемикає генератор на простий гаусівський (Бокс-Мюллер). «Блукачі» задає, скільки незалежних шляхів малюється одночасно, «Кроків за кадр» контролює швидкість симуляції, а «Масштаб» масштабує вигляд шляху польоту. Три кнопки пресетів переходять безпосередньо до α=1,2 (сильний Леві), α=1,5 (середній) і α=2,0 (броунівський) для швидкого порівняння.
💡 Чи знали ви?
Статистику польоту Леві запропонував Гонсало Вісванатан із колегами у 1990-х роках як модель того, як альбатроси, акули та інші тварини-фуражири шукають рідко й плямисто розподілену їжу — стратегія, яка виявилася ефективнішою за випадковий броунівський пошук при дефіциті ресурсів. Та сама важкохвоста статистика зустрічається у стрибках цін на фінансових ринках і в деяких моделях мобільності людини.
Часті запитання
Що таке політ Леві і чим він відрізняється від броунівського руху?
Політ Леві — це випадкове блукання, довжини кроків якого взяті з розподілу з важким степеневим хвостом P(l) ∝ l−(1+α) з показником стійкості α між 0 і 2, а не з гаусівського розподілу. Оскільки хвіст спадає повільно, рідкісні, але надзвичайно великі стрибки набагато ймовірніші, ніж у броунівському русі, де розміри кроків тісно скупчені навколо середнього, а величезні стрибки практично неможливі. Встановлення α=2,0 у цій симуляції перемикає генератор кроків на звичайну гаусівську вибірку, відновлюючи стандартний броунівський рух як окремий випадок.
Як симуляція насправді генерує довжини кроків із розподілом Леві?
Вона використовує алгоритм Мантеньї — практичний чисельний метод вибірки із симетричного α-стійкого розподілу без потреби у громіздкій замкненій формулі густини розподілу. Генеруються дві нормальні випадкові величини u і v, u масштабується коефіцієнтом σ, обчисленим із гамма-функцій α, а довжина кроку становить l = u·σ / |v|^(1/α). Це дає вибірки, чий хвіст асимптотично слідує коректному степеневому закону l−(1+α) для будь-якого α в (0,2), що підтверджує живий log-log гістограма в симуляції.
Що саме контролює показник стійкості α?
α задає, наскільки важким є хвіст розподілу довжин кроків: менше α (близько 1,05) дає дуже важкі хвости й часті екстремальні стрибки — справжній політ Леві, тоді як α близьке до 2,0 дає тонкохвостий, майже гаусівський розподіл, невідрізнюваний від броунівського руху. Показник хвоста, показаний на панелі статистики як β, дорівнює 1+α, що відповідає показнику у формулі степеневого закону P(l) ∝ l−(1+α), навколо якої побудована симуляція.
Чому шляхи польоту виглядають так по-різному при низькому й високому α?
При високому α (близько 2,0) блукач робить багато схожих за розміром кроків, утворюючи компактну, хмароподібну траєкторію, типову для дифузійного броунівського руху. При низькому α (близько 1,05) більшість кроків залишаються малими, але зрідка блукач робить стрибок на порядки більший за решту, миттєво переміщуючись далеко від попереднього кластера кроків — візуально це виглядає як щільні скупчення коротких сегментів, з'єднаних кількома довгими прямими лініями, характерний вигляд справжнього польоту Леві.
Де політ Леві зустрічається поза фізичними симуляціями?
Статистику польоту Леві спочатку використовували для опису певних фізичних дифузійних процесів, але пізніше дослідники виявили ті самі важкохвості патерни кроків у траєкторіях пошуку їжі альбатросів, акул та інших хижаків, що шукають розріджено розподілену здобич, оскільки суміш багатьох коротких і зрідка довгих стрибків обшукує територію ефективніше за чистий броунівський рух. Подібна степенева статистика також з'являється в даних про мобільність людини, деяких моделях стрибків цін на фінансових ринках і в патернах поширення деяких хвороб.