🦅 Lévy-Flug

Ein Lévy-Flug ist ein Zufallsweg, dessen Schrittlängen aus einer schwerschwänzigen Potenzgesetzverteilung P(l) ∝ l−(1+α) mit einem Stabilitätsexponenten α zwischen 0 und 2 gezogen werden, statt aus einer Gauß-Verteilung. Da der Schwanz langsam abklingt, sind seltene, aber extrem große Sprünge weit wahrscheinlicher als bei der Brownschen Bewegung, bei der sich Schrittgrößen eng um einen Mittelwert häufen und riesige Sprünge praktisch unmöglich sind. Setzt man in dieser Simulation α=2,0, schaltet der Schrittgenerator auf gewöhnliche Gauß-Stichproben um, wodurch die Brownsche Standardbewegung als Spezialfall wiederhergestellt wird.

Sie verwendet den Mantegna-Algorithmus, eine praktische numerische Methode zum Ziehen von Stichproben aus einer symmetrischen α-stabilen Verteilung, ohne die unhandliche geschlossene Dichteformel der Verteilung zu benötigen. Es werden zwei normalverteilte Zufallsvariablen u und v erzeugt, u skaliert mit einem aus Gammafunktionen von α berechneten Faktor σ, und die Schrittlänge ist l = u·σ / |v|^(1/α). Dies erzeugt Stichproben, deren Schwanz asymptotisch dem korrekten l−(1+α)-Potenzgesetz für jedes α in (0,2) folgt, was das live erstellte doppelt-logarithmische Histogramm in der Simulation visuell bestätigt.

α bestimmt, wie schwer der Schwanz der Schrittlängenverteilung ist: kleineres α (nahe 1,05) erzeugt sehr schwere Schwänze und häufige extreme Sprünge — einen echten Lévy-Flug —, während α nahe 2,0 eine dünnschwänzige, nahezu gaußförmige Verteilung erzeugt, die von der Brownschen Bewegung nicht zu unterscheiden ist. Der im Statistik-Panel gezeigte Schwanzexponent β ist gleich 1+α, passend zum Exponenten in der Potenzgesetzformel P(l) ∝ l−(1+α), auf der die Simulation aufbaut.

Bei hohem α (nahe 2,0) macht der Wanderer viele ähnlich große Schritte, was eine kompakte, wolkenartige Trajektorie erzeugt, typisch für diffusive Brownsche Bewegung. Bei niedrigem α (nahe 1,05) bleiben die meisten Schritte klein, aber gelegentlich macht der Wanderer einen Sprung, der um Größenordnungen größer ist als die übrigen, und verlagert sich sofort weit weg von seiner vorherigen Ansammlung von Schritten — visuell erscheint dies als enge Klumpen kurzer Segmente, verbunden durch wenige lange gerade Linien, das charakteristische Erscheinungsbild eines echten Lévy-Flugs.

Die Lévy-Flug-Statistik wurde ursprünglich zur Beschreibung bestimmter physikalischer Diffusionsprozesse verwendet, doch Forscher fanden später dieselben schwerschwänzigen Schrittmuster in den Futtersuche-Trajektorien von Albatrossen, Haien und anderen Raubtieren, die nach spärlich verteilter Beute suchen, da eine Mischung aus vielen kurzen und gelegentlichen langen Sprüngen ein Gebiet effizienter durchsucht als reine Brownsche Bewegung. Ähnliche Potenzgesetz-Statistiken treten auch in Daten zur menschlichen Mobilität, in manchen Modellen von Kurssprüngen an Finanzmärkten und in den Ausbreitungsmustern bestimmter Krankheiten auf.