UK 
EnglishТипова
Polski🕸 Перколяція — ситова та зв'язкова перколяція, фазовий перехід
Інтерактивна симуляція перколяції на 2D ґратці. Змінюйте ймовірність заповнення p і спостерігайте появу пронизуючого кластера при p_c ≈ 0.593. Ситова та зв
Про теорію перколяції
Ця симуляція моделює ситову та зв'язкову перколяцію на 2D квадратній ґратці. У ситовому режимі кожна клітинка незалежно зайнята з імовірністю p; у зв'язковому режимі кожне ребро між сусідами відкрите з імовірністю p. Зв'язані кластери визначаються алгоритмом union-find зі стисненням шляху та об'єднанням за рангом, а модель перевіряє, чи пронизує який-небудь окремий кластер сітку від верхнього до нижнього ряду.
Повзунки задають імовірність заповнення p (від 0 до 1) і розмір сітки N (від 20 до 200), а кнопки перемикають між Site і Bond, малюють нову випадкову вибірку або проходять p по всьому діапазону, щоб побудувати графік переходу пронизування. Коли p перетинає критичний поріг p_c, скінченні кластери зливаються в один гігантський пронизуючий кластер. Та сама математика описує течію нафти крізь пористу породу, поширення лісових пожеж, епідемії в мережах і провідність випадкових резисторних ґраток.
Часті запитання
Що таке теорія перколяції?
Теорія перколяції вивчає, як зв'язність виникає у випадкових системах. На ґратці кожен вузол або зв'язок відкритий з імовірністю p, і центральне питання — чи з'єднуються відкриті елементи в шлях, що пронизує всю структуру. Це фундаментальна модель випадкової зв'язності та фазових переходів.
Що саме показує ця симуляція?
Вона малює 2D-сітку, де зайняті вузли (або відкриті зв'язки) забарвлені за кластером, до якого належать. Пронизуючий кластер, що з'єднує верхній та нижній краї, підсвічено зеленим. Бічна панель показує p, кількість зайнятих клітинок, кількість кластерів, розмір найбільшого кластера та чи пронизує ґратка на даний момент.
Що таке критичний поріг p_c?
p_c — це ймовірність, за якої пронизуючий кластер вперше з'являється в границі нескінченної ґратки. Для ситової перколяції на квадратній ґратці це приблизно 0,5927, а для зв'язкової перколяції на тій самій ґратці — рівно 0,5. Нижче p_c існують лише скінченні кластери; вище — з'являється гігантський пронизуючий кластер.
Як працює кластеризація union-find?
Кожен зайнятий вузол спочатку є власним кластером. Алгоритм сканує сітку, і щоразу, коли знаходить два сусідні зайняті вузли, об'єднує їхні кластери методом об'єднання за рангом. Стиснення шляху вирівнює дерево при кожному пошуку, тож визначення кластера вузла займає майже сталий час. Це основа методу маркування Хошена-Копельмана.
У чому різниця між ситовою та зв'язковою перколяцією?
У ситовій перколяції самі клітинки випадково зайняті, і дві зайняті клітинки з'єднані лише якщо вони сусідні. У зв'язковій перколяції присутні всі клітинки, але ребра, що з'єднують сусідів, випадково відкриті. Обидва варіанти демонструють різкий перколяційний перехід, але критичні пороги різняться: приблизно 0,5927 для вузлів і 0,5 для зв'язків на квадратній ґратці.
Що роблять елементи керування?
Повзунок ймовірності задає p від 0 до 1, повзунок розміру ґратки задає N від 20 до 200. Кнопки «Site» та «Bond» перемикають тип ґратки, «New Sample» генерує нову випадкову конфігурацію за поточного p, а «Sweep p» проходить p по всьому діапазону, будуючи графік результатів пронизування під сіткою.
Чому цей перехід називають фазовим?
Коли p зростає через p_c, система різко змінюється від наявності лише малих скінченних кластерів до появи одного кластера, що пронизує ґратку. Ця раптова якісна зміна макроскопічної зв'язності — фазовий перехід другого роду, математично аналогічний спонтанній намагніченості, що виникає в моделі Ізінга при зниженні температури.
Чому кластер при p_c є фракталом?
Точно при p_c пронизуючий кластер не має характерного масштабу довжини: він містить діри й відростки будь-якого розміру. Його маса зростає з розміром системи як нецілий степінь, із фрактальною розмірністю близько 1,896 у двох вимірах, а не так, як зростала б площа суцільної області.
Чи фізично точна ця симуляція?
Модель є точною реалізацією стандартної 2D перколяції: незалежне випадкове заповнення та точна зв'язність union-find. Оскільки сітка скінченна (N до 200), видимий поріг дещо розмитий і варіюється між вибірками; різкий p_c близько 0,5927 досягається лише на нескінченно великій ґратці.
Які реальні системи описує перколяція?
Перколяція лежить в основі течії нафти й води крізь пористу породу, поширення лісових пожеж, де кожне дерево запалює сусідів з імовірністю p, передачі хвороб мережами контактів, гелеутворення полімерів і провідності випадкових резисторних сумішей. Багато таких систем мають однакову критичну поведінку через гіпотезу універсальності.