🌀 Linie pierwiastkowe: jak bieguny przesuwają się wraz ze zmianą wzmocnienia

Linie pierwiastkowe to wykres w zespolonej płaszczyźnie s każdego pierwiastka równania charakterystycznego układu zamkniętego 1 + K·G(s)H(s) = 0, gdy rzeczywiste, nieujemne wzmocnienie K zmienia się w sposób ciągły od 0 do nieskończoności. Wprowadził je Walter R. Evans w 1948 roku właśnie po to, by inżynierowie sterowania mogli zobaczyć, jak wzmocnienie sprzężenia zwrotnego wpływa na położenie biegunów układu zamkniętego — a zatem na stabilność i odpowiedź przejściową — bez konieczności ręcznego rozkładania na czynniki nowego wielomianu dla każdego kandydującego wzmocnienia. Ta symulacja wykonuje dokładnie to samo wyszukiwanie pierwiastków numerycznie dla każdego K, zamiast robić to ręcznie.

Przy K = 0 równanie charakterystyczne 1 + K·G(s)H(s) = 0 sprowadza się po prostu do mianownika G(s)H(s) równego zero — więc bieguny układu zamkniętego są dokładnie biegunami układu otwartego. Gdy K → ∞, równanie zdominowane jest przez licznik, więc pierwiastki zbliżają się do zer układu otwartego. Jeśli zer jest mniej niż biegunów, "nadmiarowe" gałęzie nie mają dokąd pójść w skończoności i zamiast tego rozbiegają się do nieskończoności wzdłuż prostoliniowych asymptot, których kąty wynoszą (2k+1)·180°/(n−m), a wspólny początek (centroid) to (Σbieguny − Σzera)/(n−m), gdzie n to liczba biegunów, a m to liczba zer.

Układ liniowy jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy biegun układu zamkniętego ma ściśle ujemną część rzeczywistą — czyli leży w lewej połowie płaszczyzny s, tu pokazanej na biało, w przeciwieństwie do prawej połowy zaznaczonej na czerwono. W miarę wzrostu K wzdłuż gałęzi moment, w którym część rzeczywista tej gałęzi przekracza zero i wchodzi w zacieniowany obszar, to krytyczne wzmocnienie K_kryt: dla K poniżej niego układ jest stabilny, dla K powyżej niego ta gałąź stała się niestabilna. Ta symulacja znajduje K_kryt, skanując obliczony wykres w poszukiwaniu zmiany znaku części rzeczywistej gałęzi, a następnie doprecyzowuje go metodą bisekcji na dokładnie śledzonym numerycznie pierwiastku.

Tak. Na podstawie rozmieszczonych przez Ciebie biegunów i zer buduje ona znormalizowany wielomian mianownika Mian(s) i wielomian licznika Lic(s), tworzy dokładny wielomian charakterystyczny Mian(s) + K·Lic(s) dla przemiatanej sekwencji wartości K i znajduje wszystkie zespolone pierwiastki tego wielomianu jednocześnie za pomocą iteracji Durand–Kernera — prawdziwej numerycznej metody wyszukiwania pierwiastków wielomianu. Kolejne próbki K są inicjowane poprzednimi pierwiastkami i dopasowywane według najbliższej odległości, dzięki czemu każda gałąź pozostaje ciągła — dokładnie taka ciągłość, jaką zakłada ręcznie rysowany wykres.

Jeśli jakiś biegun układu otwartego znajduje się już w prawej półpłaszczyźnie (dodatnia część rzeczywista), a żadne zero ani sąsiedni biegun nie przekształca wykresu wystarczająco szybko, odpowiadająca mu gałąź może pozostać w prawej półpłaszczyźnie przy małym K, albo gałąź może przeciąć ją bardzo wcześnie. Preset "Para zespolona" w tej symulacji wczytuje bieguny w 1 ± 2j — już niestabilne w układzie otwartym — dzięki czemu możesz zobaczyć, ile (albo jak mało) wzmocnienia sprzężenia zwrotnego potrzeba, jeśli w ogóle, aby przywrócić tę gałąź do obszaru stabilnego.

Inżynierowie sterowania używają linii pierwiastkowych, aby dobrać wzmocnienie K, które umieszcza bieguny układu zamkniętego tam, gdzie chcą — na przykład wystarczająco daleko w lewo dla szybkiej odpowiedzi, albo ze współczynnikiem tłumienia ograniczającym przeregulowanie. Motywuje to również projektowanie kompensatorów: dodanie zera (jak w kompensatorze wyprzedzającym) wygina gałęzie w stronę lewej półpłaszczyzny i może ustabilizować układ granicznie stabilny, natomiast dodanie bieguna (kompensacja opóźniająca) działa lokalnie odwrotnie, ale może poprawić dokładność w stanie ustalonym. Właśnie dlatego niemal każdy klasyczny kurs teorii sterowania buduje linie pierwiastkowe ręcznie, zanim w ogóle dotknie komputera.