🌀 Wurzelortskurve: Wie sich Pole mit der Verstärkung bewegen

Die Wurzelortskurve ist ein Graph in der komplexen s-Ebene, der jede Wurzel der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises 1 + K·G(s)H(s) = 0 zeigt, während die reelle, nicht-negative Verstärkung K stetig von 0 bis unendlich variiert. Sie wurde 1948 von Walter R. Evans eingeführt, damit Regelungstechniker sehen können, wie die Rückkopplungsverstärkung die Lage der geschlossenen Pole — und damit Stabilität und Übergangsverhalten — beeinflusst, ohne für jede mögliche Verstärkung von Hand ein neues Polynom faktorisieren zu müssen. Diese Simulation führt genau dieselbe exakte Nullstellensuche numerisch für jedes K durch, statt sie von Hand zu berechnen.

Bei K = 0 reduziert sich die charakteristische Gleichung 1 + K·G(s)H(s) = 0 auf den Nenner von G(s)H(s) gleich Null — sodass die geschlossenen Pole genau den offenen Polen entsprechen. Wenn K → ∞, wird die Gleichung vom Zähler dominiert, sodass die Wurzeln sich den Nullstellen des offenen Regelkreises nähern. Gibt es weniger Nullstellen als Pole, haben die „zusätzlichen“ Äste nirgendwo Endliches hinzugehen und laufen stattdessen entlang gerader Asymptoten ins Unendliche, deren Winkel (2k+1)·180°/(n−m) betragen und deren gemeinsamer Ursprung (der Schwerpunkt) bei (Σ Pole − Σ Nullstellen)/(n−m) liegt, wobei n die Anzahl der Pole und m die Anzahl der Nullstellen ist.

Ein lineares System ist genau dann stabil, wenn jeder geschlossene Pol einen strikt negativen Realteil hat — sich also in der linken Hälfte der s-Ebene befindet, hier weiß dargestellt gegenüber der rot getönten rechten Hälfte. Steigt K entlang eines Astes, so ist der Moment, in dem der Realteil dieses Astes die Null in Richtung des schattierten Bereichs überschreitet, die kritische Verstärkung K_krit: Für K darunter ist das System stabil, für K darüber ist dieser Ast instabil geworden. Diese Simulation findet K_krit, indem sie den berechneten Ortskurvenverlauf nach einem Vorzeichenwechsel im Realteil eines Astes durchsucht und das Ergebnis anschließend per Bisektion an der exakt numerisch verfolgten Wurzel verfeinert.

Ja. Aus Ihren platzierten Polen und Nullstellen werden das normierte Nennerpolynom Nen(s) und das Zählerpolynom Zähl(s) gebildet, das exakte charakteristische Polynom Nen(s) + K·Zähl(s) für eine durchlaufene Folge von K-Werten aufgestellt, und alle komplexen Wurzeln dieses Polynoms werden gleichzeitig mit der Durand-Kerner-Iteration gefunden — einem echten numerischen Verfahren zur Nullstellensuche bei Polynomen. Aufeinanderfolgende K-Stichproben werden mit den vorherigen Wurzeln vorinitialisiert und über die nächstgelegene Distanz zugeordnet, damit jeder Ast durchgehend bleibt — genau die Stetigkeit, die auch eine von Hand gezeichnete Ortskurve voraussetzt.

Wenn sich bereits ein Pol des offenen Regelkreises in der rechten Halbebene befindet (positiver Realteil) und keine Nullstelle oder benachbarter Pol die Ortskurve schnell genug umformt, kann der entsprechende Ast bei kleinem K in der rechten Halbebene verbleiben, oder ein Ast kann sehr früh dorthin wechseln. Das Preset „Komplexes Polpaar“ in dieser Simulation lädt Pole bei 1 ± 2j — im offenen Regelkreis bereits instabil — sodass Sie sehen können, wie viel (oder wie wenig) Rückkopplungsverstärkung nötig ist, wenn überhaupt, um diesen Ast zurück in den stabilen Bereich zu ziehen.

Regelungstechniker nutzen die Wurzelortskurve, um eine Verstärkung K zu wählen, die die geschlossenen Pole an die gewünschte Stelle setzt — zum Beispiel weit genug links für ein schnelles Ansprechverhalten oder mit einem Dämpfungsgrad, der das Überschwingen begrenzt. Sie motiviert auch den Reglerentwurf: Das Hinzufügen einer Nullstelle (wie bei einem Vorhalteglied) zieht Äste in Richtung der linken Halbebene und kann ein grenzstabiles System stabilisieren, während das Hinzufügen eines Pols (Nachhaltglied) lokal das Gegenteil bewirkt, aber die stationäre Genauigkeit verbessern kann. Deshalb baut fast jeder klassische Regelungstechnik-Kurs die Wurzelortskurve von Hand auf, bevor überhaupt ein Computer zum Einsatz kommt.