UK 
EnglishТипова
Polski🌡 Рівняння теплопровідності — 2D розподіл температури
Симуляція 2D теплопровідності методом скінченних різниць. Малюйте джерела та поглинячі тепла, спостерігайте за еволюцією температурного поля.
Про цю симуляцію
Ця симуляція розв'язує двовимірне рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T на сітці 80×80 за допомогою явного методу скінченних різниць. Малюйте гарячі джерела, холодні поглиначі та ізолюючі стіни прямо на полотні, і спостерігайте, як температура поширюється назовні, поки розв'язувач багаторазово застосовує п'ятиточковий трафарет Лапласіана. Окрема процедура релаксації Гаусса–Зейделя дозволяє одразу перейти до стаціонарного розподілу — гармонійного поля, що описується рівнянням Лапласа ∇²T = 0 після того, як усі перехідні процеси згасли.
🔬 Що це показує
Кожен кадр анімації перераховує температуру кожної вільної клітинки за її чотирма сусідами за формулою T ← T + (α·Δt/Δx²)·(Tліва+Tправа+Tверх+Tниз−4T), із кольоровим кодуванням від темно-синього (0°C) через зелений і жовтий до білого (100°C). Гарячі клітинки залишаються зафіксованими на 100°C, холодні — на 0°C, а стіни мають постійну температуру 20°C, блокуючи дифузію крізь себе. Показники Max, Min і Mean та лічильник кроків оновлюються щокадру.
🎮 Як користуватися
Оберіть Hot, Cold або Wall, а потім клацніть і перетягніть на полотні, щоб намалювати джерела обраним розміром пензля; Erase повертає клітинки до вільної дифузії. Повзунок Diffusivity α (0.01–0.48) визначає, наскільки швидко поширюється тепло, а код обмежує ефективний часовий крок так, щоб α·Δt/Δx² ніколи не перевищувало приблизно 0.24. Steady-state миттєво виконує 3000 проходів релаксації Гаусса–Зейделя; Clear скидає пластину до рівномірних 20°C; кнопки Rod і Room завантажують готові пресети.
💡 Чи знали ви?
Жозеф Фур'є вперше сформулював це рівняння у 1822 році у своїй праці «Аналітична теорія тепла» (Théorie analytique de la chaleur). Та сама математика, якщо перепозначити температуру як густину ймовірності, описує броунівський рух і лежить в основі формули ціноутворення опціонів Блека–Шоулза, яка широко використовується в сучасних фінансах.
Поширені запитання
Що контролює повзунок Diffusivity α?
Alpha задає теплопровідність (коефіцієнт дифузії) в рівнянні ∂T/∂t = α∇²T, контролюючи, наскільки швидко тепло поширюється по пластині на кожному кроці. Симуляція автоматично масштабує внутрішній часовий крок так, щоб α·Δt/Δx² ніколи не перевищувало приблизно 0.24, зберігаючи числову стабільність явного методу скінченних різниць навіть за максимального значення повзунка 0.48.
Чим стіни відрізняються від гарячих і холодних джерел?
Гарячі й холодні клітинки зафіксовані на постійних температурах (100°C і 0°C) і діють як безперервні джерела або поглиначі, які постійно додають або забирають тепло на кожному кроці. Стіни підтримують постійну температуру 20°C, але важливіше те, що трафарет розглядає сусідню клітинку-стіну як таку, що дорівнює температурі самої поточної клітинки, тож вона фактично блокує потік тепла через межу, як ізолятор.
Що відбувається, коли я натискаю Steady-state?
Кнопка Steady-state зупиняє анімований покроковий розрахунок часу і натомість виконує 3000 ітерацій релаксації Гаусса–Зейделя, багаторазово усереднюючи кожну вільну клітинку з її чотирма сусідами. Це наближає розв'язок до рівняння Лапласа ∇²T = 0 — розподілу, до якого пластина зрештою прийшла б, якщо залишити її працювати нескінченно довго — обчисленого майже миттєво, а не кадр за кадром.
Що показують пресети Rod і Room?
Пресет Rod розміщує вертикальний стовпчик гарячих клітинок 100°C біля лівого краю та холодну стіну 0°C уздовж правого краю, з ізолюючими верхньою і нижньою стінами, ілюструючи просту теплопровідність через пластину між джерелом і поглиначем тепла. Пресет Room розміщує смугу «радіатора» 80°C уздовж низу та смугу «вікна» 0°C у верхньому правому куті, оточені ізолюючими стінами, показуючи, як тепло нерівномірно поширюється в кімнаті.
Чому симуляція обмежує вплив повзунка теплопровідності на швидкість?
Явні схеми скінченних різниць для рівняння теплопровідності є числово стабільними лише тоді, коли α·Δt/Δx² залишається нижче 0.25; вище цього порогу дрібні похибки посилюються на кожному кроці, і температурне поле починає коливатися й розходитися замість згладжування. Код забезпечує це, обмежуючи ефективне співвідношення значенням 0.24, незалежно від того, наскільки високо встановлено повзунок Diffusivity.
Поширені запитання
Що означає оператор Лапласа в рівнянні теплопровідності?
Лапласіан ∇²u вимірює різницю між значенням u в точці та його середнім значенням у навколишньому околі. Там, де ∇²u > 0 (локальний мінімум), тепло надходить і температура зростає; там, де ∇²u < 0 (локальний максимум), тепло витікає і температура падає.
Яким є стаціонарний розв'язок рівняння теплопровідності?
Коли t → ∞, похідна за часом зникає, і рівняння теплопровідності зводиться до рівняння Лапласа ∇²u = 0. Стаціонарний розподіл температури є гармонійним — плавним, без локальних максимумів чи мінімумів всередині області.
Як рівняння теплопровідності пов'язане з випадковими блуканнями?
Рівняння теплопровідності є континуальною межею випадкового блукання на ґратці. Якщо частинки дифундують випадково однаковими кроками, густина ймовірності знайти частинку в позиції x у момент часу t задовольняє те саме рівняння, що й температурне поле, поєднуючи дифузію, теорію ймовірностей і теплопередачу.
Які чисельні методи розв'язують рівняння теплопровідності?
До поширених методів належать явні скінченні різниці (метод Ейлера вперед, простий, але умовно стабільний), неявні методи (метод Ейлера назад, безумовно стабільний) та схема Кранка–Ніколсон (другого порядку точності, безумовно стабільна). Методи скінченних елементів обробляють нерегулярні області.
Чи може рівняння теплопровідності моделювати охолодження Землі?
Так. Геофізики використовують рівняння теплопровідності для моделювання того, як первинне тепло виходить крізь земну кору та мантію. Лорд Кельвін відомо використав його, щоб оцінити вік Землі в 20–100 мільйонів років, хоча він не знав про радіоактивний нагрів, який є основним джерелом внутрішнього тепла сьогодні.