UK 
EnglishТипова
PolskiТеплопровідність
Розв'язуйте 2D рівняння теплопровідності в реальному часі методом FTCS. Малюйте гарячі та холодні джерела й спостерігайте дифузію тепла.
Про цю симуляцію
Цей симулятор розв'язує 2D рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T на сітці 160×160 у реальному часі. Тепло поширюється провідністю: кожна клітинка обмінюється тепловою енергією з чотирма сусідами, тож різкі гарячі й холодні плями поступово згладжуються, доки поле не наблизиться до рівноваги. Сітка оновлюється явною схемою скінченних різниць FTCS — класичним чисельним методом для задач дифузії, що дозволяє побачити, як температуропровідність визначає темп, з яким градієнти температури розчиняються на поверхні.
🔬 Що це показує
Це візуалізація дифузії температури на квадратній сітці, керованої рівнянням теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T. На кожному кроці застосовується оновлення Forward-Time Central-Space (FTCS): нове значення клітинки дорівнює старому значенню плюс α, помножене на дискретний лапласіан її чотирьох сусідів. Кольорова карта йде від чорного (нуль) через червоний, жовтий і білий для гарячих ділянок та через синій до блакитного для холодних. Межа утримується фіксованою на 0 °C (умова Діріхле).
🎮 Як користуватися
Оберіть гарячий або холодний пензлик, тоді клацніть або перетягніть по сітці, щоб намалювати джерела тепла. Повзунок Brush temp задає величину (10–200 °C), а Brush radius — розмір намальованого кола (1–8 клітинок). У розділі Physics повзунок Diffusivity α (0.05–0.50) визначає швидкість поширення тепла, а Steps / frame (1–20) — швидкість симуляції. Панель статистики показує максимальну, мінімальну й середню температуру та кількість кроків; «Clear grid» скидає поле до нуля.
💡 Чи знали ви?
Явна схема FTCS є лише умовно стійкою: у 2D безрозмірне число α·dt/dx² має залишатися нижче 0.25, інакше похибки округлення посилюються з кожним кроком і розв'язок «вибухає». Саме тому повзунок температуропровідності тут обмежено до 0.50 при dt = dx = 1, утримуючи метод на межі його стійкості.
Поширені запитання
Яке рівняння теплопровідності розв'язує ця симуляція?
Це 2D рівняння теплопровідності (дифузії), записане як ∂T/∂t = α∇²T, де T — температура, t — час, α — температуропровідність, а ∇² — лапласіан. Воно стверджує, що швидкість зміни температури в точці пропорційна тому, наскільки ця точка відрізняється від середнього значення її оточення, через що тепло тече від гарячих ділянок до холодних.
Як саме метод FTCS обчислює кожен крок?
Forward-Time Central-Space замінює похідні скінченними різницями на сітці. Наступна температура кожної клітинки дорівнює її поточному значенню плюс α, помножене на суму чотирьох сусідів мінус чотири рази саму клітинку. Оскільки нове поле залежить лише від старого, кожну клітинку можна оновити незалежно за один явний прохід, що швидко, але обмежено умовою стійкості.
Що змінюють повзунки температуропровідності та швидкості?
Температуропровідність α визначає, наскільки сильно кожна клітинка тяжіє до середнього значення своїх сусідів, тож вищий α змушує тепло поширюватися швидше й досягати рівноваги раніше. Steps / frame задає, скільки оновлень FTCS виконується перед кожним перемальовуванням — по суті, це керування швидкістю часу: більше кроків на кадр прискорює симульований час, не змінюючи саму фізику.
Чи є це фізично точним?
Модель є точною дискретизацією ідеального рівняння теплопровідності для ізотропного, однорідного середовища з фіксованою температурою (умова Діріхле) на межах. Це навчальний інструмент, тож він використовує безрозмірні одиниці сітки, а не реальні константи матеріалів, і не враховує конвекцію, випромінювання та температурну залежність властивостей. Проте якісна поведінка провідного теплового потоку відтворюється правильно.
Чому тепло зрештою згасає до нуля?
Чотири краї сітки зафіксовані на 0 °C, тож вони постійно виводять теплову енергію з області. Без внутрішнього джерела тепла, що підтримувало б процес, провідність згладжує кожен градієнт, і енергія витікає крізь ці фіксовані межі, доки все поле не наблизиться до граничного значення нуля. Перемальовування гарячих або холодних плям додає нову енергію й перезапускає дифузію.
Поширені запитання
Що таке теплопровідність і як вона відрізняється між матеріалами?
Теплопровідність (k) вимірює, наскільки легко матеріал проводить тепло, у Вт/(м·К). Метали, такі як мідь (~400 Вт/м·К), є чудовими провідниками, тоді як повітря (~0.025 Вт/м·К) та аерогелі (~0.015 Вт/м·К) — чудові ізолятори.
У чому різниця між теплопровідністю та конвекцією?
Провідність передає тепло через прямий контакт частинок у нерухомому матеріалі. Конвекція передає тепло об'ємним рухом рідини (рідини або газу). Часто обидва процеси відбуваються разом, але рівняння теплопровідності моделює саме провідність.
Що таке температуропровідність?
Температуропровідність (α = k/ρcₚ) поєднує провідність, густину й питому теплоємність, щоб виміряти, наскільки швидко температурне збурення поширюється крізь матеріал. Висока температуропровідність означає швидке вирівнювання температури — метали дифундують тепло значно швидше, ніж деревина чи пластик.
Які граничні умови використовуються в симуляціях теплопровідності?
Поширені граничні умови включають фіксовану температуру (Діріхле), фіксований тепловий потік (Неймана) або конвективне охолодження (Робена/закон охолодження Ньютона). Вибір залежить від фізичної постановки — наприклад, поверхня, що охолоджується вентилятором, використовує конвективну умову.
Як ізолятори зменшують теплопровідність?
Ізолятори мають дуже низьку теплопровідність, тож для отримання навіть невеликого теплового потоку потрібен крутий градієнт температури. Такі матеріали, як скловолокно, піна та аерогель, утримують нерухоме повітря в крихітних кишенях, запобігаючи як провідності, так і конвекції, досягаючи дуже низьких ефективних значень k.