UK 
EnglishТипова
Polski💨 Розподіл Максвелла-Больцмана — Кінетична теорія
Симулюйте пружні молекули ідеального газу і спостерігайте, як гістограма розподілу швидкостей в реальному часі збігається з теоретичною кривою Максвелла-Больцмана.
Що це демонструє
Розподіл Максвелла-Больцмана — це розподіл ймовірності молекулярних швидкостей в ідеальному газі за теплової рівноваги. Він випливає зі статистичної механіки багатьох взаємодіючих частинок і визначає три характеристичні швидкості: vp (найімовірніша), ⟨v⟩ (середня) та vrms (середньоквадратична). Вища температура або менша маса зсуває розподіл у бік вищих швидкостей.
Як користуватися
- Підвищіть температуру T і спостерігайте, як гістограма розширюється та зсувається праворуч
- Збільшіть масу m (важчий газ) і спостерігайте, як розподіл звужується та зсувається ліворуч
- Червона крива — це теоретичний розподіл Максвелла-Больцмана; сині стовпчики — жива виміряна гістограма
- Спробуйте пресети, щоб порівняти H₂ та Pb — 300-кратна різниця в масі вражає
Чи знали ви?
За кімнатної температури (300 K) молекули водню (H₂) мають середню швидкість ~1700 м/с — достатньо швидко, щоб покинути земне тяжіння за геологічний час, тому в атмосфері так мало водню. Молекули кисню (O₂) рухаються зі швидкістю ~480 м/с, значно нижче другої космічної швидкості.
Про цю симуляцію
Ця симуляція показує N пружних молекул ідеального газу (тверді сфери), що відскакують усередині 2D-коробки, і будує живу гістограму їхніх швидкостей у процесі роботи фізики. Кожна частинка починає зі швидкості, взятої з гаусівського розподілу (методом Бокса-Мюллера), масштабованої температурою та масою, а потім просто відбивається від стінок щокадру. Коли накопичуються тисячі кадрів, виміряна гістограма сходиться до теоретичного розподілу швидкостей Максвелла-Больцмана f(v) = 4π(m/2πkT)^(3/2)·v²·exp(−mv²/2kT), намальованого червоною кривою поверх синіх виміряних стовпчиків.
🔬 Що це показує
N частинок маси m за температури T рухаються в коробці з пружними зіткненнями об стінки. Жива гістограма (сині стовпчики) виміряних швидкостей порівнюється покадрово з теоретичною кривою Максвелла-Больцмана (червона лінія), обчисленою для тих самих T і m, з позначками для найімовірнішої швидкості vₚ, середньої швидкості ⟨v⟩ і середньоквадратичної швидкості v_rms.
🎮 Як користуватися
Перетягніть повзунок Temperature T (100–2000 K), щоб нагріти або охолодити газ, повзунок Particle mass m (1–200 u), щоб перемикатися між легкими й важкими молекулами, та повзунок Particle count N (30–300), щоб змінити розмір вибірки. Скористайтеся кнопками пресетів (H₂, He, N₂, O₂, CO₂, Pb), щоб перейти до реальних газів за реалістичних температур, або натисніть ↺ Re-randomise, щоб заново згенерувати позиції та швидкості всіх частинок і очистити гістограму.
💡 Чи знали ви?
Три характеристичні швидкості завжди перебувають у співвідношенні vₚ : ⟨v⟩ : v_rms = √2 : √(8/π) : √3, незалежно від температури чи маси — змінюється лише їхній абсолютний масштаб, пропорційний √(T/m). Саме тому молекули водню (H₂) за 300 K рухаються в середньому майже в 4 рази швидше, ніж важчі молекули кисню (O₂) за тієї самої температури.
Поширені запитання
Що таке розподіл Максвелла-Больцмана?
Це розподіл ймовірності молекулярних швидкостей в ідеальному газі за теплової рівноваги, отриманий зі статистичної механіки. Для газу за температури T з молекулярною масою m частка молекул зі швидкістю близько v пропорційна v² exp(−mv²/2kT), де k — стала Больцмана. Ця симуляція малює цю криву червоним кольором і накладає на неї реальну виміряну гістограму швидкостей синім кольором, тож можна спостерігати, як симульовані молекули відтворюють теорію в реальному часі.
Як симуляція генерує початкові швидкості частинок?
Компоненти швидкості vx і vy кожної частинки вибираються незалежно з гаусівського розподілу за допомогою перетворення Бокса-Мюллера, зі стандартним відхиленням σ = √(kT/m). Це саме той статистичний рецепт, що дає розподіл швидкостей Максвелла-Больцмана, якщо подивитися на модуль √(vx²+vy²) багатьох таких векторів швидкості, а саме це й вимірює гістограма.
Що насправді змінюють температура, маса та кількість частинок?
Температура T і маса частинки m обидві безпосередньо входять у формулу теплової швидкості σ = √(kT/m): підвищення T або зниження m збільшує середню швидкість, зсуваючи всю гістограму й теоретичну криву праворуч і розширюючи їх. Кількість частинок N не змінює форму розподілу, лише кількість точок даних, що заповнюють гістограму, і те, як швидко вона стабілізується до гладкої кривої.
Чому частинки відбиваються лише від стінок, а не одна від одної?
Щоб зберегти високу частоту кадрів із сотнями частинок, ця симуляція реалізує лише зіткнення зі стінками (пружне відбиття, що змінює знак vx або vy), а не зіткнення частинок одна з одною. Це прийнятне наближення для розрідженого ідеального газу, де маса частинок, їхній розмір і постійне перегенерування швидкостей уже відтворюють правильний рівноважний розподіл швидкостей без потреби явно моделювати кожне зіткнення.
Що означають vₚ, ⟨v⟩ і v_rms, і чому вони різні?
vₚ — це найімовірніша швидкість (пік кривої), ⟨v⟩ — середня швидкість, усереднена по всіх молекулах, а v_rms — середньоквадратична швидкість, яку використовують для обчислення кінетичної енергії й тиску. Вони відрізняються, бо розподіл Максвелла-Больцмана асиметричний, а не симетричний: завжди v_rms > ⟨v⟩ > vₚ, у фіксованому співвідношенні √3 : √(8/π) : √2.