UK 
EnglishТипова
Polski🌀 Пружинний маятник
Маса на пружині, що також гойдається — зв'язаний осцилятор з 2 ступенями вільності. Коли частота пружини вдвічі більша за частоту гойдання, енергія перетікає між підстрибуванням і гойданням (автопараметричний резонанс 2:1), а рух стає хаотичним.
Схожі симуляції
Про цю симуляцію
Пружинний маятник має два ступені вільності: пружина може розтягуватися на r, поки тягарець одночасно гойдається під кутом θ. Їхні зв'язані рівняння руху інтегруються методом Рунге-Кутта 4-го порядку (RK4), а не простим кроком Ейлера, тож енергія добре зберігається навіть при великій амплітуді. Налаштуйте жорсткість пружини k так, щоб її власна частота була приблизно вдвічі більшою за частоту гойдання маятника, і ви отримаєте автопараметричний резонанс 2:1 — енергія перетікає туди-сюди між підстрибуванням і гойданням замість того, щоб лишатися на місці.
🔬 Що показано
Тягарець висить на зигзагоподібній пружині, колір якої змінюється між фіолетовим і блакитним залежно від розтягу, лишаючи затухаючий фіолетовий слід. Друге полотно фазового портрета малює (r − r_рівн) проти dr/dt, тож видно, як орбіти перетворюються з чистого кола на переплутану хмару в міру переходу від регулярного руху до хаотичного.
🎮 Як користуватися
Оберіть пресет — Резонанс 2:1, Плавне гойдання, Жорстка пружина або Хаотичний — або тягніть повзунки жорсткості пружини k, маси m, природної довжини L₀, гравітації g, загасання, початкового кута θ₀ та початкового розтягу. Смуги розподілу енергії (Пружна/Гойдання/Гравітаційна) та відношення ω_пружина/ω_маятник оновлюються наживо, а Пауза/Скинути дозволяють заморозити або перезапустити рух.
💡 Чи знали ви?
Той самий автопараметричний зв'язок 2:1 змушує маятник Вілберфорса розкручуватися й закручуватися між вертикальним підстрибуванням і скручуванням — і це одна з найпростіших механічних систем, яка може стати повністю хаотичною, попри повну відсутність випадкового збудження.
Часті запитання
Що таке пружинний (еластичний) маятник?
Це маса, підвішена на пружині замість жорсткого стрижня, вільна одночасно розтягуватися/стискатися вздовж пружини (радіальна координата r) і гойдатися під кутом θ. Це надає йому два зв'язані ступені вільності замість одного кута простого маятника.
Чому резонанс 2:1 робить рух таким цікавим?
Коли власна частота пружини ω_пружина = √(k/m) приблизно вдвічі більша за частоту гойдання маятника ω_маятник = √(g/L_рівн), два рухи можуть ефективно обмінюватися енергією — суто вертикальне підстрибування самовільно починає розгойдуватися вбік і назад, це явище зветься автопараметричним резонансом.
Чому використовується RK4, а не простіший інтегратор?
Рівняння пружинного маятника жорсткі й чутливі до енергії; проста інтеграція Ейлера з часом «дрейфує» і додає фіктивну енергію. Метод Рунге-Кутта 4-го порядку обчислює похідні чотири рази за крок і комбінує їх для набагато кращого довгострокового збереження енергії, що важливо, аби бачити справжню хаотичну поведінку, а не артефакти інтегратора.
Як зрозуміти, що рух став хаотичним?
Стежте за індикатором режиму й фазовим графіком. Великі кути гойдання або розподіл енергії, що постійно непередбачувано змінюється (замість того, щоб осісти в повторюваному шаблоні), змушують класифікатор повідомляти «хаотичний», а слід фазового графіка перестає малювати чисту замкнену петлю і натомість заповнює переплутану хмару.
Що означають смуги енергії?
Смуга Пружна підсумовує потенційну енергію пружини та радіальну кінетичну енергію, смуга Гойдання — це тангенціальна кінетична енергія від кутового руху, а смуга Гравітаційна — потенційна енергія відносно тягарця, що висить прямо вниз. Спостерігати, як вони разом ростуть і спадають, — найнаочніший спосіб побачити перетікання енергії між двома рухами.