Подвійний маятник — один із найпростіших механічних систем, що демонструє детермінований хаос. Два жорстких стержні з'єднані шарнірами та підпорядковуються другому закону Ньютона — але навіть мінімальна різниця початкового кута веде до експоненційного розходження траєкторій. Це ефект метелика у видимій формі.
Перетягни маятники для встановлення початкових кутів або використай повзунки. Увімкни слід траєкторії, щоб намалювати хаотичний шлях. Клонуй симуляцію з малим зміщенням, щоб безпосередньо порівняти, як дві майже однакові початкові умови розходяться з часом.
Анрі Пуанкаре відкрив математичні основи хаосу ще у 1890-х роках, вивчаючи задачу трьох тіл. Фазовий простір подвійного маятника містить як стабільні острівці, так і хаотичне море — залежно від рівня енергії. Висока енергія → майже завжди хаос; низька → система поводиться як два пов'язані прості маятники.
Ця симуляція на canvas інтегрує рівняння руху подвійного маятника — двох жорстких стержнів, з'єднаних шарніром без тертя і коливних під дією сили тяжіння (g = 9,81 м/с²). Зв'язані рівняння другого порядку для кутів кожного маятника просуваються в часі інтегратором Рунге–Кутти четвертого порядку (RK4) з підкроками для стабільності. Запускаючи до сорока копій, початкові кути яких відрізняються лише на 0,0001 радіана, вона розкриває детермінований хаос: фізика ідентична, проте траєкторії розходяться експоненційно.
Явище — це чутливість до початкових умов. Модель використовує стандартні зв'язані кутові прискорення для мас m1, m2 та довжин стержнів L1, L2, які розв'язуються щокадру методом RK4 з вісьмома підкроками. Кожен маятник креслить шлях свого нижнього тягарця, тож майже однакові старти помітно розходяться віялом із часом.
Повзунки задають Масу 1 і Масу 2 (0,2–5), Довжину 1 і Довжину 2 (50–180 px), довжину Слідів (50–2000 точок) та кількість Маятників (1–40). Панель показує метрику Хаосу — кутовий розкид між копіями в градусах — а також живий показник FPS. Натисніть «Перезапуск», щоб заново ініціалізувати всі маятники.
Подвійний маятник — одна з найпростіших механічних систем, рух якої є хаотичним. Він не має замкненого аналітичного розв'язку для великих коливань, тож його майбутнє можна знайти лише чисельним інтегруванням — і навіть сама лише похибка округлення з часом робить будь-який прогноз ненадійним.
Подвійний маятник — це маятник, до кінця якого прикріплено другий маятник. Обидва стержні вільно коливаються під дією сили тяжіння, і оскільки рух нижнього стержня впливає на верхній, об'єднана система є сильно нелінійною та, за більшості рівнів енергії, хаотичною.
Вона розв'язує два зв'язані кутові рівняння руху для кутів стержнів за допомогою інтегратора Рунге–Кутти четвертого порядку (RK4). Кожен кадр анімації розбивається на вісім підкроків для чисельної стабільності, а сила тяжіння зафіксована на 9,81 м/с² — значенні біля поверхні Землі.
Маса 1 і Маса 2 задають вагу кожного тягарця, тоді як Довжина 1 і Довжина 2 задають довжини стержнів у пікселях. Сліди визначають, скільки минулих точок нижнього тягарця малюється, а Маятники задають, скільки копій працює одночасно — кожна копія стартує під трохи іншим кутом, тож ви можете спостерігати, як вони розходяться.
Копії стартують лише на 0,0001 радіана одна від одної, але хаотична система експоненційно посилює будь-яку різницю. За короткий час ці мікроскопічні зміщення виростають у цілком різні коливання — класичний ефект метелика — який показник Хаосу на екрані відображає як кутовий розкид у градусах.
Рівняння — це правильна динаміка подвійного маятника без тертя, а RK4 є точним розв'язувачем, тож короткострокова поведінка реалістична. Проте вона ідеалізована: немає опору повітря чи тертя в шарнірах, стержні є невагомими жорсткими, а довжини задано в пікселях екрана, а не в метрах.