Ця симуляція відтворює атрактор Лоренца — систему з трьох пов'язаних диференціальних рівнянь, яку Едвард Лоренц вивів у 1963 році для моделювання теплової конвекції в атмосфері. Кожна світна крива — це окрема траєкторія у тривимірному просторі станів, а разом вони утворюють знаменитий «дивний атрактор» у формі метелика. Це класичний приклад детермінованого хаосу: погода, течія рідин і багато нелінійних систем поводяться так само, тому довгостроковий прогноз погоди принципово обмежений.
dx/dt = σ(y − x); dy/dt = x(ρ − z) − y; dz/dt = xy − βz
— σ (сигма) це число Прандтля, ρ (ро) число Релея, а β (бета) —
геометричний коефіцієнт. Класичні хаотичні значення: σ=10, ρ=28,
β=8/3 ≈ 2,67.
Лоренц натрапив на хаос випадково у 1961 році: він перезапустив прогноз із округленого значення (0,506 замість 0,506127), і результат повністю розійшовся. Ця крихітна похибка округлення надихнула його доповідь 1972 року з питанням, чи може помах крила метелика в Бразилії спричинити торнадо в Техасі — звідси й термін «ефект метелика».
Атрактор Лоренца — ікона теорії хаосу: детермінована система без випадковості, яка не піддається довгостроковому прогнозуванню. Крихітні відмінності початкових умов розходяться по експоненті — ефект метелика.
Три пов'язані диференціальні рівняння (Лоренц, 1963) породжують траєкторії, що ніколи не повторюються, але залишаються на фрактальному атракторі у формі метелика з вимірністю ≈ 2,06.
Тягни для обертання 3D-атрактора. Запускай кілька частинок із трохи різними початковими умовами для візуалізації розходження. Регулюй ρ, σ та β повзунками.
Лоренц відкрив хаос випадково у 1961 році, повторно запустивши симуляцію із заокругленими значеннями (0,506 замість 0,506127). Це й привело до знаменитої лекції про ефект метелика.
Цей візуалізатор відтворює атрактор Лоренца — систему з трьох пов'язаних звичайних диференціальних рівнянь, яку Едвард Лоренц опублікував у 1963 році для моделювання теплової конвекції в атмосфері. До 80 частинок крокують крізь тривимірний простір станів, і кожна лишає кольоровий слід, що осідає на знаменитому дивному атракторі у формі метелика. Оскільки близькі траєкторії розходяться експоненційно, ця система є хрестоматійною ілюстрацією детермінованого хаосу: повністю підпорядкована правилам, але непрогнозована на далеку перспективу.
Кожна крива підпорядковується рівнянням dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y та dz/dt = xy − βz. Анімація просуває кожну частинку крихітними кроками часу (п'ять підкроків на кадр), тож можна спостерігати, як спочатку сусідні шляхи розходяться віялом, лишаючись прив'язаними до двопелюсткового атрактора, фрактальна вимірність якого приблизно 2,06.
Тягніть, щоб обертати сцену, і прокручуйте, щоб масштабувати. Повзунки σ, ρ та β змінюють форму атрактора; Particles задає, скільки траєкторій працює (1–80); Trail length керує тим, скільки останніх точок зберігає кожен слід (100–3000); Speed × масштабує час симуляції (0,2–6). Натисніть ↺ Restart, щоб заново засіяти всі частинки з нових стартових точок.
Лоренц натрапив на хаос випадково у 1961 році, коли перезапуск прогнозу з округленого значення (0,506 замість 0,506127) дав цілком інший результат. Це осяяння привело до його доповіді 1972 року з питанням, чи може помах крила метелика в Бразилії спричинити торнадо в Техасі — звідси й термін ефект метелика.
Це довгострокова поведінка системи з трьох змінних, описаної диференціальними рівняннями, яку Едвард Лоренц запропонував у 1963 році як спрощену модель конвекції. Замість того щоб збігтися до точки чи замкненого циклу, розв'язок вічно блукає вздовж фіксованої поверхні у формі метелика в тривимірному просторі, що зветься дивним атрактором.
Для кожної частинки вона обчислює три рівняння Лоренца за поточними значеннями σ, ρ і β, а потім просуває x, y та z на невеликий приріст часу. Цикл кадрів виконує п'ять підкроків на кадр для стабільності, а недавні позиції зберігаються в кільцевому буфері та малюються як згасаючий тривимірний слід.
Це три параметри системи: σ (число Прандтля, 1–30), ρ (число Релея, 10–60) та β (геометричний коефіцієнт, 0,5–6). Класичний хаотичний режим використовує σ=10, ρ=28 і β=8/3 ≈ 2,67. Зниження ρ нижче приблизно 24,74 змушує траєкторії спіралити до стійкої точки замість хаотичної поведінки.
Це чутлива залежність від початкових умов — визначальна риса хаосу. Атрактор має додатний показник Ляпунова, тож відстань між двома близькими траєкторіями зростає приблизно експоненційно з часом. Навіть однакові рівняння та мікроскопічна відмінність у стартовій точці невдовзі дають цілком різні шляхи.
Рівняння та форма атрактора відтворені правдиво, а розходження, яке ви бачите, є справжньою властивістю системи. Утім, це сильно ідеалізована спрощена модель конвекції, а не реальна погода, і числове інтегрування використовує скінченний крок часу, тож окремі траєкторії є наближеннями, детальні шляхи яких залежать від обраного розміру кроку.