Досліджуйте знаменитий атрактор Лоренца в 3D. Дві траєкторії, що стартують нескінченно близько, розходяться експоненційно — ефект метелика. Налаштовуйте σ, ρ, β та відкривайте біфуркації. Перетягуйте для обертання.
dx/dt = σ(y−x); dy/dt = x(ρ−z)−y; dz/dt = xy−βz. Класичні параметри: σ=10, ρ=28, β=8/3. Атрактор Лоренца має фрактальну розмірність D≈2.06 та позитивний показник Ляпунова λ₁≈0.906. Траєкторії ніколи не повторюються, але залишаються в обмеженій області фазового простору.
Дві траєкторії, що стартують з відхиленням ε=10⁻⁵, розходяться експоненційно: |δ(t)| ≈ |δ₀|·e^(λ₁t). З λ₁≈0.9, горизонт передбачуваності T_pred ≈ (1/λ₁)·ln(1/ε) ≈ 13 одиниць часу. В атмосферному моделюванні це обмежує прогнозування погоди приблизно двома тижнями.
При ρ < 1: стійкий початок координат. При 1 < ρ < 24.74: дві стійкі нерухомі точки. При ρ = 24.74: початок каскаду подвоєння периоду. При ρ > 24.74: хаотичний дивний атрактор. При ρ ≈ 99.96: вікно з переодичністю всередині хаосу.
Ця симуляція показує знаменитий атрактор Лоренца — систему з трьох нелінійних диференціальних рівнянь, яку метеоролог Едвард Лоренц вивів у 1963 році, спрощуючи модель атмосферної конвекції. Дві траєкторії, що стартують нескінченно близько одна до одної, з часом розходяться експоненційно — це і є знаменитий «ефект метелика», який ілюструє фундаментальну межу передбачуваності хаотичних систем, попри те що рівняння повністю детерміновані.
Рівняння Лоренца: dx/dt = σ(y−x), dy/dt = x(ρ−z)−y, dz/dt = xy−βz, які інтегруються методом Рунге–Кутти 4-го порядку. За класичних параметрів σ=10, ρ=28, β=8/3 атрактор має фрактальну розмірність D≈2.06 та позитивний показник Ляпунова λ₁≈0.906 — саме він визначає, наскільки швидко дві близькі траєкторії розходяться в часі, замість того щоб залишатися паралельними, як у нехаотичних системах.
Регулюйте параметри σ (сигма), ρ (ро) та β (бета) повзунками, щоб перейти від стійких нерухомих точок до повного хаосу або періодичних вікон, змінюйте початкове відхилення ε між двома траєкторіями та довжину сліду. Скористайтеся готовими пресетами («Класичний хаос», «Поруч з біфуркацією», «Періодичний», «Перехідний хаос»), кнопкою «+ Траєкторія» для додавання нової пари, перетягуйте мишею для обертання сцени та прокручуйте коліщатком для масштабування.
Едвард Лоренц відкрив цей ефект випадково в 1961 році, коли повторно запустив свою погодну модель з округленим до трьох знаків після коми, а не шести, початковим значенням, — і отримав абсолютно інший прогноз. Термін «ефект метелика» походить із його доповіді 1972 року з провокативною назвою «Чи спричиняє помах крил метелика в Бразилії торнадо в Техасі?».
Атрактор Лоренца — це дивний атрактор, породжений системою трьох звичайних диференціальних рівнянь dx/dt = σ(y−x), dy/dt = x(ρ−z)−y, dz/dt = xy−βz, які Едвард Лоренц вивів 1963 року як спрощену модель атмосферної конвекції. Траєкторії в фазовому просторі ніколи не перетинаються і не повторюються, але назавжди залишаються в обмеженій області, утворюючи характерну форму, схожу на крила метелика.
Ефект метелика — це чутливість хаотичної системи до початкових умов: дві траєкторії, що стартують з мізерним відхиленням ε (у симуляції — порядку 10⁻⁵), розходяться експоненційно швидко за формулою |δ(t)| ≈ |δ₀|·e^(λ₁t), де λ₁ — показник Ляпунова. У симуляції це показано двома кольоровими траєкторіями (рожевою та блакитною), які спершу рухаються майже разом, а потім стрімко розбігаються різними «крилами» атрактора.
σ (число Прандтля) описує співвідношення в'язкості та теплопровідності рідини, ρ (зведене число Релея) визначає різницю температур, що рухає конвекцію, а β пов'язаний із геометрією конвективних валів. Класичні значення σ=10, ρ=28, β=8/3, які дав сам Лоренц, породжують хаотичний дивний атрактор; зміна ρ переводить систему між стійкими точками, періодичними циклами та хаосом.
Показник Ляпунова λ₁ вимірює середню швидкість, з якою експоненційно розходяться близькі траєкторії. Позитивне значення (для класичного атрактора Лоренца λ₁≈0.906) є визначальною ознакою хаосу: воно означає, що будь-яка похибка у визначенні початкового стану зростає експоненційно, встановлюючи горизонт передбачуваності, за межами якого довгострокове прогнозування стає неможливим.
При ρ < 1 система має єдину стійку нерухому точку в початку координат. При 1 < ρ < 24.74 з'являються дві стійкі нерухомі точки, що відповідають стаціонарній конвекції. При ρ = 24.74 починається каскад подвоєння періоду, а при ρ > 24.74 виникає хаотичний дивний атрактор. При ρ ≈ 99.96 всередині хаотичного режиму трапляється вузьке періодичне вікно.