Досліджуйте знаменитий атрактор Лоренца в 3D. Дві траєкторії, що стартують нескінченно близько, розходяться експоненційно — ефект метелика. Налаштовуйте σ, ρ, β та відкривайте біфуркації. Перетягуйте для обертання.
dx/dt = σ(y−x); dy/dt = x(ρ−z)−y; dz/dt = xy−βz. Класичні параметри: σ=10, ρ=28, β=8/3. Атрактор Лоренца має фрактальну розмірність D≈2.06 та позитивний показник Ляпунова λ₁≈0.906. Траєкторії ніколи не повторюються, але залишаються в обмеженій області фазового простору.
Дві траєкторії, що стартують з відхиленням ε=10⁻⁵, розходяться експоненційно: |δ(t)| ≈ |δ₀|·e^(λ₁t). З λ₁≈0.9, горизонт передбачуваності T_pred ≈ (1/λ₁)·ln(1/ε) ≈ 13 одиниць часу. В атмосферному моделюванні це обмежує прогнозування погоди приблизно двома тижнями.
При ρ < 1: стійкий початок координат. При 1 < ρ < 24.74: дві стійкі нерухомі точки. При ρ = 24.74: початок каскаду подвоєння периоду. При ρ > 24.74: хаотичний дивний атрактор. При ρ ≈ 99.96: вікно з переодичністю всередині хаосу.