🎻 Фізика струни — коливання та гармоніки

Вона показує натягнуту струну, закріплену з обох кінців, яка коливається в реальному часі. Ви можете смикнути її, перетягнути, надавши їй форму, або збудити чисту гармоніку, і спостерігати результуючу стоячу хвилю з нерухомими вузлами та коливними пучностями. Статистика в реальному часі показує основну частоту, частоту обраної моди, номер моди та пікову амплітуду.

Вона розбиває струну на 300 вузлів і розв'язує одновимірне хвильове рівняння за допомогою явної скінченно-різницевої схеми (leapfrog). Наступне положення кожного вузла залежить від його поточного й попереднього значень, а також кривизни сусідніх вузлів, масштабованої числом Куранта r = c·dt/dx. Коефіцієнт запасу 0.4 утримує крок часу в межах умови стійкості CFL, тому розв'язок ніколи не «вибухає».

Натяг T і лінійна густина μ задають швидкість хвилі c = √(T/μ), яка своєю чергою визначає всі частоти: натягуючи струну сильніше, ви підвищуєте висоту звуку, а важча струна знижує її. Повзунок демпфування (0.990–0.9999) множить значення кожного вузла на кожному кроці, тому значення менші за 1 змушують коливання поступово згасати — так само, як реальна щипана нота стихає до тиші.

Вузол — це точка на струні, яка залишається нерухомою, де амплітуда хвилі завжди дорівнює нулю; закріплені кінці — це постійні вузли. Пучність — це точка максимального зміщення, розташована посередині між сусідніми вузлами. Номер моди n дорівнює кількості пучностей, тому n-та гармоніка має n+1 вузлів, включно з двома кінцями.

Струна, закріплена з обох кінців, може підтримувати лише стоячі хвилі, половини довжин хвиль яких точно вкладаються в її довжину L. Ця гранична умова змушує допустимі довжини хвиль дорівнювати 2L/n, що дає частоти fₙ = n·c/(2L) для n = 1, 2, 3 і так далі. Оскільки це точні цілочисельні кратні, ці обертони є гармонічними, і вухо сприймає їх як єдину тональну ноту.

Основна частота f₀ = c/(2L), де довжина струни нормалізована до L = 1 м, тому f₀ = √(T/μ)/2. За типовими значеннями T = 400 Н і μ = 0.001 кг/м швидкість хвилі становить приблизно 632 м/с, а основна частота — близько 316 Гц. Статистика моди просто множить це значення на номер обраної гармоніки n.

Базове хвильове рівняння та співвідношення c = √(T/μ) є точними для ідеальної гнучкої струни, а скінченно-різницевий розв'язувач відтворює їх достовірно в межах чисельної точності. Це 2D-візуалізація, яка ігнорує жорсткість струни, деталі опору повітря та незначну негармонічність реальних струн, тому це ідеалізована, але кількісно обґрунтована навчальна модель, а не емулятор інструментального класу.

Панель спектра оцінює, скільки кожної гармоніки присутньо в поточній формі струни, проєктуючи зміщення на синусоїдальні моди sin(nπx/L). Висота кожного стовпчика відображає амплітуду відповідної гармоніки, а активна мода підсвічується. Щипана струна показує кілька стовпчиків одночасно, ілюструючи, що реальні ноти є сумішшю обертонів.

Форма, яку ви надаєте струні, задає початкову суміш гармонік. Щипок біля центру сприяє основній частоті та непарним модам, тоді як щипок біля кінця збуджує більше високих обертонів, надаючи яскравішого, різкішого тону. Саме тому гітаристи щипають струни ближче до підставки для отримання гострішого звуку — цей ефект можна дослідити, перетягуючи в різних точках.

Вона пояснює фізику всіх струнних інструментів: гітари, скрипки, віолончелі, піаніно та арфи — усі створюють висоту звуку через стоячі хвилі, задані натягом, довжиною та масою на одиницю довжини. Та сама математика керує коливанням телефонних і силових ліній, вібрацією голосових зв'язок і будь-яким натягнутим середовищем, і це є ключем до розуміння резонансу, тембру та Фур'є-аналізу звуку.