UK 
EnglishТипова
Polski🎵 Ряди Фур'є
Анімовані епіцикли складають будь-яку форму хвилі з гармонік. До 8 синусоїд, звук Web Audio API.
Схожі симуляції
〰️ Аналіз Фур'є
Побачте, як будь-який сигнал можна розкласти на суму простих синусоїд. Намалюйте власну форму хвилі та подивіться, як обертові кола (епіцикли) відтворюють її — це ключова ідея аналізу Фур'є.
🔬 Що це демонструє
Дискретне перетворення Фур'є розкладає сигнал на частотні складові. Кожне обертове коло відповідає одній частоті, амплітуді та фазі.
🎮 Як користуватися
Намалюйте форму або оберіть готовий пресет. Спостерігайте, як епіцикли відтворюють контур. Додавайте або прибирайте частотні складові, щоб побачити, як зростає точність.
💡 Чи знали ви?
Аналіз Фур'є застосовують всюди: стиснення JPEG, аудіо MP3, МРТ-сканування, сейсмологія, розпізнавання мовлення — його винайшов Жозеф Фур'є 1822 року для вивчення теплопровідності.
Про цю симуляцію
Ця демонстрація будує періодичні хвилі, додаючи чисті синусоїдальні тони, ілюструючи головний результат ряду Фур'є: будь-який періодичний сигнал можна подати як суму гармонійно пов'язаних синусоїд. Вісім гармонік розташовані на основній частоті 220 Гц (нота ля малої октави, A3), а цілі кратні 2f, 3f і так далі утворюють гармонічний спектр. Змінюючи амплітуду aₙ кожної гармоніки, ви в реальному часі змінюєте форму сумарної хвилі, спостерігаєте її частотний спектр і чуєте отриманий тембр через осцилятори Web Audio.
🔬 Що це показує
Сумарна крива обчислюється як адитивна сума aₙ·sin((n+1)t) для восьми гармонік, потім нормалізується й малюється разом із тьмяними лініями окремих складових та стовпчиковою діаграмою частотного спектра. Кнопки пресетів завантажують класичні набори амплітуд: пилкоподібна хвиля (aₙ = 1/n), прямокутна (лише непарні гармоніки, 1/n), трикутна (непарні гармоніки, 1/n²) та чиста синусоїда.
🎮 Як користуватися
Оберіть пресет (пилкоподібна, прямокутна, трикутна або синусоїда) або перетягуйте вісім повзунків амплітуди aₙ, кожен із яких підписаний своєю частотою від 220 Гц до 1760 Гц. Натисніть кнопку «Звук», щоб відтворити гармоніки як живі осцилятори, та увімкніть «Епіцикли», щоб побачити обертові кола, радіуси яких відповідають амплітудам і відтворюють хвилю.
💡 Чи знали ви?
Жозеф Фур'є представив ці ряди 1822 року, вивчаючи теплопровідність, а не звук. Та сама математика сьогодні лежить в основі стиснення зображень JPEG, аудіо MP3, реконструкції МРТ і сейсмології, адже всі вони працюють у частотній області.
Часті запитання
Що таке синтез Фур'є?
Синтез Фур'є — це побудова складної періодичної хвилі шляхом додавання простих синусоїд на гармонічних частотах. Це процес, обернений до аналізу Фур'є, який, навпаки, розкладає сигнал на ці складові. У цій симуляції додаються вісім синусоїдальних гармонік над основною частотою 220 Гц, щоб побудувати такі хвилі, як пилкоподібна, прямокутна та трикутна.
Як симуляція будує кожну форму хвилі?
Для кожної точки на горизонтальній осі обчислюється сума aₙ·sin((n+1)t) для гармонік від першої до восьмої, де aₙ — амплітуда відповідного повзунка, а t проходить один повний період. Результат нормалізується під розмір вікна та малюється як яскрава сумарна крива, а тьмяні кольорові лінії показують внесок кожної окремої гармоніки.
Що контролюють повзунки амплітуди та пресети?
Кожен повзунок встановлює амплітуду aₙ однієї гармоніки в межах від 0 до 1, а його підпис показує відповідну частоту (220 Гц, 440 Гц, 660 Гц і так далі до 1760 Гц). Пресети просто завантажують відомі шаблони амплітуд: 1/n для пилкоподібної хвилі, лише непарні 1/n для прямокутної, лише непарні 1/n² для трикутної та єдиний член для чистої синусоїди.
Чи звук фізично точний?
Так, у межах можливостей моделі. Кнопка «Звук» створює вісім справжніх синусоїдальних осциляторів, налаштованих на точні гармонічні частоти й зважених значеннями ваших повзунків, тож тембр, який ви чуєте, відповідає хвилі на екрані. Оскільки використовується лише вісім гармонік, гострокутні хвилі, як-от прямокутна, мають плавні хвилясті краї замість ідеально вертикальних сторін.
Чому прямокутна та трикутна хвилі використовують лише непарні гармоніки?
Їхня симетрія змушує всі парні гармоніки зникати в ряді Фур'є, тому залишаються лише непарні кратні основної частоти. Помітне заокруглення країв прямокутної хвилі, яке зберігається незалежно від кількості доданих членів, — це явище Гіббса, фундаментальна властивість зрізаних рядів Фур'є, а не хиба симуляції.