📈 Соціальна мобільність — Ланцюг Маркова доходів

Ланцюг Маркова — це математична модель, у якій система переходить між скінченною множиною станів, а ймовірність переходу до будь-якого наступного стану залежить лише від поточного стану, а не від попередньої історії. Тут станами є п'ять квінтилів доходу, а матриця переходів кодує ймовірність того, що домогосподарство з квінтиля i опиниться в квінтилі j наступного покоління, дозволяючи дослідникам стисло описувати складні патерни мобільності однією компактною матрицею.

Домогосподарства спочатку випадково розподілені по п'яти смугах квінтилів ліворуч. Кожне покоління кожна точка заново обирає свій квінтиль відповідно до матриці переходів і переміщується анімацією до нової смуги. Підвищте повзунок «Липкість», щоб зробити дохід сильно стійким між поколіннями, або знизьте його до нуля для майже повного перемішування. Права панель порівнює живу гістограму популяції (кольорові стовпці) з математично обчисленим стаціонарним розподілом (білі позначки).

Стаціонарний розподіл — це єдиний розподіл популяції за квінтилями, який залишається незмінним після ще одного застосування матриці переходів — це довгострокова рівновага, до якої система сходиться незалежно від початкового стану популяції. Тут він обчислюється методом степеневих ітерацій — повторним множенням вектора початкового розподілу на матрицю, доки той не перестане змінюватися, — і показаний білими рисками поверх стовпців живої гістограми для прямого візуального порівняння.

Поки кожен стан може врешті-решт досягти будь-якого іншого стану (ланцюг незвідний) і немає жорстких циклів, що заважають поверненню в довільні моменти часу (він аперіодичний), теорема Перрона-Фробеніуса гарантує єдиний стаціонарний розподіл, і повторне застосування матриці переходів з будь-якої початкової точки сходиться до нього. У цій симуляції, оскільки кожен квінтиль має додатну ймовірність переходу до будь-якого іншого квінтиля, обидві умови автоматично виконуються, тож гістограма популяції завжди встановлюється в одну й ту саму рівноважну форму незалежно від початкового випадкового розподілу.

Для домогосподарства, що наразі перебуває в квінтилі 1, кількість поколінь до першого переходу в інший квінтиль — це геометрична випадкова величина з імовірністю успіху, що дорівнює 1 мінус діагональний елемент P[1][1] (імовірність залишитися в квінтилі 1). Очікуване значення геометричного розподілу дорівнює одиниці, поділеній на ймовірність успіху, тож очікуваний час виходу становить 1 / (1 − P[1][1]). Це значення різко зростає, коли липкість наближається до 1, ілюструючи, як невеликі підвищення стійкості можуть різко подовжити кількість поколінь, протягом яких сім'я, за очікуваннями, залишатиметься в бідності.

Дослідники емпіричної мобільності будують матриці переходів на основі поздовжніх податкових та опитувальних даних, що пов'язують ранги доходів батьків і дітей, найвідоміше — у проєкті Opportunity Insights під керівництвом Раджа Четті та колег, який відстежує мобільність по округах США на основі мільйонів знеособлених податкових записів. Міжнародні порівняння цих матриць лежать в основі «кривої Великого Гетсбі», яка показує, що країни з вищою нерівністю доходів також мають тенденцію мати липкіші, менш мобільні матриці переходів, тобто дохід сильніше зберігається між поколіннями.

Абсолютна мобільність запитує, чи заробляють діти більше в реальному вираженні, ніж заробляли їхні батьки, що переважно зумовлено загальним економічним зростанням. Відносна мобільність, на якій зосереджена ця симуляція, запитує, чи відрізняється ранг дитини в розподілі доходів від рангу батьків, незалежно від зростання. Суспільство може мати високу абсолютну мобільність (усі багатіють), водночас маючи низьку відносну мобільність (порядок рангів майже не змінюється), тому економісти відстежують обидва показники окремо при оцінці справедливості можливостей.

Не обов'язково сама по собі, але висока стійкість зазвичай трактується як свідчення того, що фактори поза контролем людини — успадковане багатство, ефекти сусідства, нерівний доступ до освіти — відіграють непропорційно велику роль у визначенні життєвих результатів. Ідеально мобільне суспільство (липкість близько нуля) означало б, що результати практично випадкові щодо сімейного походження, що також не є однозначно «справедливим». Тому більшість економістів розглядають мобільність не як щось однозначно добре чи погане, а як один із чинників поряд із абсолютним рівнем життя та нерівністю в ширшій оцінці економічних можливостей.

Припущення, що переходи залежать лише від поточного квінтиля, ігнорує багато реальних особливостей: темпи мобільності різняться залежно від початкового рівня багатства, географії, раси та структури сім'ї, ймовірності переходів навряд чи залишаються сталими протягом тривалих історичних періодів, а трактування доходу як п'яти дискретних розрядів втрачає інформацію порівняно з неперервними даними про доходи. Реальні дослідження мобільності дедалі частіше використовують неперервні кореляції рангів доходу та моделі машинного навчання з десятками коваріат, але дискретний ланцюг Маркова залишається цінним і легко інтерпретованим першим наближенням.