📈 Mobilność społeczna — łańcuch Markowa kwintyli dochodowych

Dopóki każdy stan może ostatecznie osiągnąć każdy inny stan (łańcuch jest nieredukowalny) i nie ma ścisłych cykli uniemożliwiających powrót w dowolnych momentach (łańcuch jest aperiodyczny), twierdzenie Perrona-Frobeniusa gwarantuje unikalny rozkład stacjonarny, a wielokrotne stosowanie macierzy przejść z dowolnego punktu startowego zbiega do niego. W tej symulacji, ponieważ każdy kwintyl ma dodatnie prawdopodobieństwo przejścia do każdego innego kwintylu, oba warunki są automatycznie spełnione, więc histogram populacji zawsze osiąga ten sam kształt równowagowy, niezależnie od początkowego losowego przypisania.

Dla gospodarstwa domowego znajdującego się obecnie w kwintylu 1, liczba pokoleń do pierwszego przejścia do innego kwintylu jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym, z prawdopodobieństwem sukcesu równym 1 minus wartość na przekątnej P[1][1] (prawdopodobieństwo pozostania w kwintylu 1). Wartość oczekiwana rozkładu geometrycznego to jeden podzielony przez jego prawdopodobieństwo sukcesu, więc oczekiwany czas ucieczki wynosi 1 / (1 − P[1][1]). Wartość ta gwałtownie rośnie w miarę zbliżania się lepkości do 1, ilustrując, jak niewielki wzrost trwałości może dramatycznie wydłużyć liczbę pokoleń, przez które rodzina pozostaje w ubóstwie.

Badacze mobilności empirycznej konstruują macierze przejść z podłużnych danych podatkowych i ankietowych, łączących dochody rodziców i dzieci, najsłynniej w projekcie „Opportunity Insights" prowadzonym przez Raja Chetty'ego i współpracowników, który śledzi mobilność w podziale na hrabstwa w USA, wykorzystując miliony zanonimizowanych rejestrów podatkowych. Międzynarodowe porównania tych macierzy leżą u podstaw „krzywej Wielkiego Gatsby'ego", która pokazuje, że kraje o wyższej nierówności dochodowej mają zwykle także bardziej lepkie, mniej mobilne macierze przejść, co oznacza, że dochód utrzymuje się silniej między pokoleniami.

Mobilność bezwzględna pyta, czy dzieci zarabiają więcej w wartościach realnych niż ich rodzice, co jest napędzane głównie ogólnym wzrostem gospodarczym. Mobilność względna, na której skupia się ta symulacja, pyta, czy pozycja dziecka w rozkładzie dochodów różni się od pozycji rodzica, niezależnie od wzrostu. Społeczeństwo może mieć wysoką mobilność bezwzględną (wszyscy się bogacą), zachowując przy tym niską mobilność względną (kolejność pozycji ledwo się zmienia), dlatego ekonomiści śledzą obie miary osobno, oceniając sprawiedliwość szans.

Niekoniecznie sama w sobie, ale wysoka trwałość jest zwykle interpretowana jako dowód, że czynniki pozostające poza kontrolą jednostki — odziedziczony majątek, efekty sąsiedztwa, nierówny dostęp do edukacji — odgrywają nieproporcjonalnie dużą rolę w kształtowaniu losów życiowych. Społeczeństwo w pełni mobilne (lepkość bliska zeru) sugerowałoby, że wyniki są zasadniczo losowe względem pochodzenia rodzinnego, co również nie jest oczywiście „sprawiedliwe". Większość ekonomistów traktuje więc mobilność nie jako z natury dobrą lub złą, lecz jako jeden z elementów, obok bezwzględnego poziomu życia i poziomu nierówności, szerszej oceny szans gospodarczych.

Założenie, że przejścia zależą wyłącznie od obecnego kwintylu, pomija wiele cech rzeczywistości: wskaźniki mobilności różnią się w zależności od początkowego poziomu majątku, geografii, rasy i struktury rodziny, prawdopodobieństwa przejść raczej nie pozostają stałe przez długie okresy historyczne, a traktowanie dochodu jako pięciu dyskretnych przedziałów traci informacje w porównaniu z ciągłymi danymi o dochodach. Badania nad mobilnością coraz częściej wykorzystują ciągłe korelacje rang dochodowych oraz modele uczenia maszynowego uwzględniające dziesiątki zmiennych, ale dyskretny łańcuch Markowa pozostaje wartościowym, łatwo interpretowalnym pierwszym przybliżeniem.