📊 Ціноутворення Опціонів — Блек-Шоулз

Він обчислює теоретичну справедливу вартість європейських опціонів кол і пут на актив без дивідендів за формулою Блека-Шоулза-Мертона. Поряд із ціною він показує внутрішню вартість, часову вартість і п'ять грецьких коефіцієнтів: дельту, гамму, тету, вегу та ро. Кожна величина оновлюється миттєво при переміщенні повзунків.

Для кол-опціону C дорівнює S, помноженому на N(d₁), мінус K, помножене на e в степені мінус rT, помножене на N(d₂), де N — функція стандартного нормального кумулятивного розподілу. Тут d₁ дорівнює логарифму S/K плюс (r плюс половина σ у квадраті), помноженому на T, усе поділене на σ, помножене на квадратний корінь з T, а d₂ дорівнює d₁ мінус σ, помножене на квадратний корінь з T. Ціна пут-опціону отримується з тих самих d₁ і d₂ через паритет пут-кол.

Спотова ціна S — це поточна ціна базового активу; страйк K — узгоджена ціна виконання; час до експірації T — час, що залишився, у роках; волатильність σ — річне стандартне відхилення прибутковості; безризикова ставка r — неперервно нарахована процентна ставка. Перемикач Call/Put вибирає, який контракт оцінюється і будується на графіку.

Внутрішня вартість — це те, чого вартував би опціон при негайному виконанні: max(S мінус K, 0) для кол або max(K мінус S, 0) для пут. Часова вартість — це решта премії понад це, що відображає шанс на подальший рух опціону в прибуткову зону до експірації. Симулятор показує обидва значення, і часова вартість зменшується до нуля з наближенням T до експірації.

Дельта — це швидкість зміни ціни щодо спотової ціни, гамма — швидкість зміни дельти, тета — денне часове згасання, вега — чутливість до зміни волатильності на один пункт, а ро — чутливість до процентних ставок. Симулятор показує тету за день, а вегу і ро — на один відсоток зміни, як це прийнято у трейдерів.

Розрив між двома кривими — це часова вартість опціону. Оскільки завжди є ймовірність сприятливого руху базового активу до експірації, опціон вартує більше за його негайну вартість виконання. Зі зменшенням часу до експірації або волатильності крива ціни згладжується до заламаної лінії внутрішньої виплати.

Це корисна ідеалізація, а не досконалий опис. Модель припускає сталу волатильність, логнормальну прибутковість, неперервну торгівлю та відсутність транзакційних витрат. Реальні ринки демонструють товсті хвости й «усмішку волатильності», коли неявна волатильність змінюється залежно від страйку. Трейдери досі використовують Блека-Шоулза як спільну мову котирувань, коригуючи вхідну волатильність під спостережувані ціни.

Вища волатильність підвищує ціни і кол, і пут опціонів, оскільки ширший розподіл майбутніх результатів збільшує шанс великих сприятливих рухів, тоді як низхідний ризик обмежений премією. Пересуньте повзунок волатильності вгору — і вся крива ціни підніметься від внутрішньої лінії, а вега кількісно вимірює цю чутливість.

Гамма вимірює, наскільки швидко змінюється сама дельта при русі спотової ціни. Вона досягає піку, коли опціон «при грошах», біля страйку, бо саме там невелика зміна ціни найсильніше впливає на ймовірність завершення в прибутковій зоні. Далеко в прибутковій чи збитковій зоні дельта майже фіксована на рівні 1 або 0, тож гамма прямує до нуля.

Кумулятивний нормальний розподіл N(d₁) і N(d₂) не має замкнутого виразу, тож симулятор використовує раціональне поліноміальне наближення (формулу Абрамовіца і Стегана з константами на кшталт 0,254829592 і p = 0,3275911). Це дає точність до кількох десяткових знаків, чого достатньо для візуалізації цін і грецьких коефіцієнтів у реальному часі.

Маркетмейкери оцінюють і хеджують портфелі, нейтралізуючи грецькі коефіцієнти: дельта-хеджування усуває напрямковий ризик, тоді як гамма, вега і тета підказують, як часто ребалансувати позицію та як згасання руйнує вартість. Досліджуючи повзунки, можна побачити, чому позиція, що виглядає нейтральною сьогодні, може стати ризикованою зі зміною спотової ціни, волатильності чи часу, що залишився.