UK 
EnglishЗа замовчуванням
Polski📊 Декомпозиція часових рядів — тренд, сезонність і залишки
Розкладіть синтетичний часовий ряд на тренд, сезонність і залишки в реальному часі: вилучення тренду ковзним середнім, усереднена за циклами сезонність, жива періодограма ДПФ та STL як сучасний надійний стандарт.
Про декомпозицію часових рядів
Декомпозиція часових рядів розбиває спостережувану послідовність Y(t) на три інтерпретовані частини: тренд, що охоплює довгостроковий напрямок, сезонну складову, що охоплює патерн, який повторюється з фіксованим періодом, і залишок — усе, що лишається після видалення обох. Класична адитивна модель: Y(t) = Тренд(t) + Сезонність(t) + Залишок(t). Коли розмір сезонних коливань зростає пропорційно до рівня тренду, краще підходить мультиплікативна модель Y(t) = Тренд(t) × Сезонність(t) × Залишок(t) — математично еквівалентна застосуванню адитивної моделі до log Y(t).
Цей симулятор генерує синтетичний ряд із тренду, який ви контролюєте (лінійний або криволінійний), синусоїдального сезонного патерну з регульованою амплітудою й довжиною періоду та гаусового шуму — тож істинне значення завжди відоме, і ви можете судити, наскільки добре декомпозиція відновлює його. Тренд вилучається справжнім центрованим ковзним середнім (регульований розмір вікна); сезонна складова вилучається усередненням за циклами — усередненням детрендованих значень, що припадають на ту саму фазу циклу, а потім центруванням цього середнього патерну до нульового середнього; залишок — це просто те, що лишається: Y − Тренд − Сезонність.
Невелика панель періодограми виконує справжнє дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) на детрендованому ряді й будує величину кожної частотної компоненти проти відповідної довжини періоду. Найвищий пік позначає домінантну довжину циклу, що дійсно присутня в даних. Сучасний, надійніший стандарт — STL (декомпозиція сезонності й тренду з використанням Loess), яка замінює ковзне середнє з фіксованим вікном ітеративним, локально зваженим регресійним згладжувачем (Loess) і дозволяє самому сезонному патерну поступово змінюватися з часом.
Часті запитання
Яка різниця між адитивною та мультиплікативною декомпозицією?
В адитивній моделі сезонні коливання залишаються приблизно сталими за абсолютним розміром незалежно від рівня тренду. У мультиплікативній моделі сезонні коливання масштабуються з трендом — доречно, коли, наприклад, святкові піки продажів пропорційно зростають зі зростанням бізнесу. Взяття логарифмів перетворює мультиплікативний ряд на адитивний.
Як насправді працює вилучення тренду ковзним середнім?
Центроване ковзне середнє замінює кожне значення середнім значень у симетричному вікні навколо нього. Для вікна розміру w = 2k+1 оцінка тренду в момент t — це середнє k точок до, самої точки та k точок після. Це усереднює як сезонні коливання, так і короткостроковий шум.
Як оцінюється сезонна складова з детрендованих даних?
Після віднімання оцінки тренду з ряду залишковий детрендований ряд все ще містить сезонний патерн плюс шум. Усереднення за циклами групує всі детрендовані точки, що поділяють одну й ту саму позицію в циклі, і усереднює їх разом, скасовуючи шум через багато циклів.
Що насправді обчислює панель періодограми?
Вона виконує дискретне перетворення Фур'є безпосередньо на детрендованому ряді й будує отриману величину проти відповідної довжини періоду. Піки в цій «періодограмі» позначають довжини циклів, що сильно присутні в даних. Детрендування спершу уникає величезного низькочастотного піку від сирого ряду з трендом.
Чому виявлений період може відрізнятися від справжнього сезонного періоду, який я встановив?
При короткому ряді, високому рівні шуму або сезонному періоді, що не є чистим дільником довжини вибірки, роздільна здатність частоти періодограми достатньо груба, щоб пік опинився на кілька кроків від справжнього значення.
Як обрати хороший розмір вікна ковзного середнього?
Вікно ідеально має відповідати (або бути кратним) справжньому сезонному періоду, щоб кожне вікно усереднювало ціле число циклів, і сезонна брижа чисто скасовувалася з оцінки тренду. Занадто коротке вікно залишає сезонні коливання в «тренді», занадто довге згладжує справжню кривизну тренду.
Що таке STL і як вона покращує метод цього симулятора?
STL (декомпозиція сезонності й тренду з використанням Loess) чергує між згладжувачем Loess (локально зваженою поліноміальною регресією) для тренду та згладжуванням циклічних підрядів для сезонної складової, уточнюючи обидва за кілька проходів. На відміну від ковзного середнього з фіксованим вікном та єдиного статичного сезонного патерну, STL дозволяє сезонній формі повільно дрейфувати з часом.
Що означає «пояснена дисперсія» тут?
Це 1 мінус відношення дисперсії залишку до загальної дисперсії, виражене у відсотках — частка дисперсії оригінального ряду, яку разом пояснюють тренд і сезонна складова. Значення близько 100% означає, що залишок майже чистий шум.
Навіщо використовувати дискретне перетворення Фур'є замість простого візуального огляду графіка?
Для чистого сигналу з низьким шумом і очевидним періодом візуальний огляд працює добре. Але зі зростанням шуму або коли кілька періодичностей перекриваються, людське око не може надійно виділити домінантний цикл. ДПФ розкладає сигнал на точну суму синусоїд на кожній можливій частоті.