Розкладання Часових Рядів: Розділення Трендів та Сезонності

Разбиение сигнала на три истории

Временной ряд редко представляет собой один чистый процесс — обычно это медленно движущаяся тенденция, повторяющийся сезонный паттерн, связанный с календарем или часами, и все, что остается после удаления обоих, остаток (или случайный компонент). Классическое разложение предполагает, что наблюдаемая серия Y состоит из этих трех частей одним из двух простых способов:

additive:        Y(t) = Trend(t) + Seasonal(t) + Residual(t)
                 use when the seasonal swing stays roughly constant in absolute size

multiplicative:  Y(t) = Trend(t) × Seasonal(t) × Residual(t)
                 use when the seasonal swing grows/shrinks proportionally to
                 the trend level (common in sales, traffic, anything that
                 compounds) — equivalent to an additive model on log(Y)

Вилучення тренду: ковзний середній показник

Найбільш надійна спосіб витягти тренд без припущення про його функціональну форму — це центрований ковзний середній показник, вікно якого точно відповідає періоду сезонності — усереднення протягом повного циклу скасовує сезонну складову (воно сумується приблизно до нуля за один період, за конструкцією) і згладжує шум, залишаючи повільно змінюваний тренд:

для періоду p (наприклад, p = 12 для щомісячних даних із річною сезонністю): Тренд(t) = (1/p) · Σ_{i=−p/2}^{p/2} Y(t+i) (центрований; невелике коригування обробляє парне p, усереднюючи два перекриваються вікна, щоб кожна точка отримала упереджений ваг) Це саме пояснює, наскільки важливий вік вікна: занадто короткий і сезонні хвилі просочуються в те, що ви називаєте «трендом»; занадто довгий і ви розмиваєте справжні повороти в основному тренді. Неуникна вартість центрованого вікна полягає в тому, що його не можна обчислити для перших та останніх p/2 точок серії — ковзний середній показник тренду завжди пропущено кінець, який STL (нижче) виправляє більш ретельною екстраполяцією.

for period p (e.g. p = 12 for monthly data with yearly seasonality):

  Trend(t) = (1/p) · Σ_{i=−p/2}^{p/2} Y(t+i)      (centred; a small tweak
                                                    handles even p by
                                                    averaging two overlapping
                                                    windows so each point
                                                    gets an unbiased weight)

Вилучення сезонності: середнє значення за фазою

Після видалення тренду (віднімається для додаваного, поділяється для множника), що залишається - це сезонність плюс шум. Щоб ізолювати сезонний компонент, групуйте кожне спостереження за його положенням у циклі — кожен січень разом, кожен лютий разом і так далі для місячних даних, та обчислюйте середнє значення по всіх циклах, присутніх у серії:

видалений тренд(t) = Y(t) − Тренд(t) сезонний індекс[m] = середнє значення видаленого тренду(t) для всіх t з фазою(t) = m Сезонний(t) = сезонний індекс[фаза(t)] (нормалізовано до суми/середнього значення 0) Усереднення по циклам робить цей метод стійким до шуму в будь-якому циклі: одне незвично холодне січневе спостереження мало впливає на оцінену січневу сезонну індексу, коли його усереднено з кількома іншими січнями. Це також означає, що класичний метод потребує щонайменше двох, а краще багатьох, повних циклів даних перед тим, як його сезонна оцінка стане надійною — з одним циклом спостереження сезонність і залишки нерозрізнені.

detrended(t) = Y(t) − Trend(t)                      (additive case)
seasonal_index[m] = mean of detrended(t) over all t with phase(t) = m
Seasonal(t) = seasonal_index[phase(t)]              (normalised to sum/average to 0)

Залишок: що це таке та що він означає

Залишковий(t) = Y(t) − Тренд(t) − Сезонний(t) – це все, що модель не могла пояснити – справжній шум, але також реальний сигнал, який занадто проста тренд/сезонна модель не може захопити: одноразові події, структурні зміни, свята, які змінюються протягом року (які не можуть бути представлені фіксованим місячним сезонним індексом), або сезонний патерн, що повільно змінюється з плином років. Залишок – це місце, де здійснюється виявлення аномалій: після видалення тренду та сезонності точка, яка все ще на значну кількість стандартних відхилень від нуля, є справді незвичною, таким чином, як би ви не розглядали початковий ряд (велике число в грудні може бути повністю нормальним сезонним поводженням; однаковий стрибок у залишку після розкладання не є).

STL: більш точний і надійний розклад

STL (Сезонно-трендова декомпозиція за допомогою Loess, Cleveland et al. 1990) вдосконалює класичну рецептуру трьома способами. Він замінює фікване вікно ковзного середнього на Loess — локальне зважене поліноміальне регресування — для гладкого тренду та сезонного компонента, що дозволяє без проблем вирішувати проблему відсутніх кінцевих точок і дозволяє сезонному шаблону повільно змінюватися з часом замість того, щоб бути зафіксованим у одному фіксному вигляді. Він ітерується: оцінює тренд, потім сезонний компонент на основі детрендованої серії, а потім тренд з десезонного компонента, збігаючись протягом кількох проходів замість того, щоб виконувати кожен крок один раз. І він підтримує надійне зважування, зменшуючи вагу відхилених спостережень у процесі ітерації, щоб не дозволити кільком аномальним точкам затягнути весь тренд або сезонний оцінку в бік, що є великою перевагою над класичним методом, який просто використовує середнє значення кожного спостереження як рівноцінне.

Пошук періоду самій: періограма

Все вищезазначене припускає, що ви вже знаєте сезонний період p. Коли цього немає — або ви хочете перевірити наявність періодичності, яку не очікували — дискретна швидкість Фур'є відповідає на це безпосередньо, перераховуючи серію як суму синусів і косинусів на дискретній множині частот та повідомляючи про те, скільки потужності (квадратична амплітуда) знаходиться в кожній з них:

X(f) = Σ_t Y(t) · exp(−2πi f t) дискретна швидкість Фур'є Power(f) = |X(f)|² періограма period = 1 / f при частоті, де Power(f) досягає піку Жива періограма візуально очевидним чином показує сезонність у порівнянні з серією часових рядів, яку часто не видно: справжній періодичний компонент відображається як різкий, високий пік на своїй частоті (та часто меншими піками на своїх гармоніях, якщо форма сезону не є чистою синусоїдою), тоді як чистий шум розподіляє свою потужність приблизно рівномірно по всіх частотах. Єдиний жорсткий ліміт — це частота Найквіста: вибірка з однією точкою на одиницю часу, DFT може розрізняти лише періодичності до двох зразків на цикл — будь-яка справжня періодичність швидше за це згортається та маскує як нижчу, оманливу частоту (змішування), тому швидкість віднімання має бути обрана з урахуванням найшвидшого циклу, який ви насправді хочете врахувати.

X(f) = Σ_t Y(t) · exp(−2πi f t)          discrete Fourier transform
Power(f) = |X(f)|²                        the periodogram
period = 1 / f  at the frequency where Power(f) peaks

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Time Series Decomposition і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.