🍩 Топологія — Поверхні, Рід та Характеристика Ейлера
Досліджуйте топологічні поверхні — рід, орієнтованість та характеристику Ейлера у 3D
Поверхня
Відображення
Топологічні показники
Формула
Сфера: g=0, χ=2
Орієнтована, 0 країв
Про Топологію Поверхонь
Характеристика Ейлера
Для будь-якої трикутної поверхні характеристика Ейлера χ = V − E + F (вершини мінус ребра плюс грані) є топологічним інваріантом — вона не змінюється при неперервних деформаціях. Для сфери χ=2; для тора χ=0; для подвійного тора χ=−2. Формула χ = 2−2g пов'язує її з родом g — кількістю отворів у поверхні.
Орієнтованість
Поверхня орієнтована, якщо можна послідовно визначити «зовнішню» нормаль скрізь — як у сфери або тора. Стрічка Мьобіуса — найпростіша неорієнтована поверхня: жук, що повзе по її середній лінії, повертається на початок у дзеркальному відображенні. Пляшка Кляйна — замкнена неорієнтована поверхня, яку неможливо вкласти у 3D-простір без самоперетину.
Гаусова Кривина
Гаусова кривина K = κ₁·κ₂ (добуток головних кривин) є внутрішньою властивістю поверхні. Сфера має K>0 скрізь (червоний); сідлова точка має K<0 (синій); циліндр або площина мають K=0 (зелений). Теорема Гаусса-Бонне пов'язує повну кривину з топологією: ∬K dA = 2πχ.