UK 
EnglishТипова
PolskiПро топологію поверхонь
Характеристика Ейлера
Для будь-якої тріангульованої поверхні характеристика Ейлера χ = V − E + F (вершини мінус ребра плюс грані) є топологічним інваріантом — вона не змінюється під неперервними деформаціями. Для сфери χ=2; для тора χ=0; для подвійного тора χ=−2. Формула χ = 2−2g пов'язує її з родом g — кількістю отворів у поверхні.
Орієнтовність
Поверхня орієнтовна, якщо можна послідовно визначити «зовнішню» нормаль усюди — як у сфери чи тора. Стрічка Мебіуса — найпростіша неорієнтовна поверхня: жучок, що йде вздовж її середнього краю, повертається до початку дзеркально відображеним. Пляшка Клейна — замкнена неорієнтовна поверхня, яку не можна вкласти в 3D-простір без самоперетину.
Гаусова кривина
Гаусова кривина K = κ₁·κ₂ (добуток головних кривин) є внутрішньою властивістю поверхні. Сфера має K>0 усюди (червоний); сідлова точка має K<0 (синій); циліндр чи плоска площина мають K=0 (зелений). Теорема Гаусса-Бонне пов'язує повну кривину з топологією: ∬K dA = 2πχ — інтеграл кривини дорівнює 2π помножити на характеристику Ейлера.
Про цю симуляцію
Шість параметричних поверхонь — сфера, тор, подвійний тор, пляшка Клейна, стрічка Мебіуса та поверхня Боя — відрендерені в 3D, щоб напряму порівняти їхній рід, характеристику Ейлера та орієнтовність. Забарвлення за кривиною (червоний для додатної, синій для від'ємної, зелений поблизу нуля) робить абстрактну формулу χ = 2 − 2g видимою реальною фігурою, яку можна обертати.
🔬 Що показано
Кожна кнопка завантажує іншу параметричну поверхню й миттєво оновлює її рід, характеристику Ейлера, орієнтовність і кількість меж у панелі Статистики топології, тож числа й геометрія залишаються пов'язаними.
🎮 Як користуватися
Оберіть поверхню (Сфера, Тор, Подвійний тор, Пляшка Клейна, Стрічка Мебіуса, Поверхня Боя), а потім перемкніть Каркас, Суцільна + каркас, Колір за кривиною або Автообертання, щоб оглянути її з усіх кутів.
💡 Чи знали ви?
Пляшку Клейна й поверхню Боя не можна вкласти в 3D-простір без самоперетину — показана тут версія є «зануренням», необхідним компромісом, щоб узагалі візуалізувати неорієнтовну поверхню.
Поширені запитання
Що насправді означає «рід»?
Рід g рахує кількість отворів чи ручок, які має поверхня. Сфера має g=0, тор (бублик) має g=1, а подвійний тор, показаний тут, має g=2 — по одній додатковій ручці на кожен додатковий отвір.
Що таке формула характеристики Ейлера у статистиці?
χ = 2 − 2g пов'язує характеристику Ейлера поверхні безпосередньо з її родом для орієнтовних поверхонь. Сфера дає χ=2, тор χ=0, а подвійний тор χ=−2, що відповідає значенням у панелі Статистики топології при перемиканні поверхонь.
Чому пляшка Клейна і стрічка Мебіуса «неорієнтовні»?
На цих поверхнях немає послідовного способу визначити «всередині» проти «зовні» чи за годинниковою стрілкою проти проти неї — фігура, що ковзає поверхнею, може повернутися дзеркально відображеною. Показник Орієнтовність перемикається на «Ні» для цих двох.
Чому стрічка Мебіуса має межу, а інші — ні?
Стрічка Мебіуса — єдина поверхня тут з краєм, який можна простежити пальцем, не відриваючи його — єдина неперервна межова крива. Інші п'ять поверхонь «замкнені», без жодних країв, тому Межі показує 0 для них.
Що означає забарвлення за кривиною?
Червоний позначає ділянки додатної гаусової кривини (куполоподібні, вигнуті однаково в усіх напрямках), синій — від'ємну кривину (сідлоподібні), а зелений — близьку до нуля кривину (плоскі чи циліндричні), дозволяючи бачити локальну форму без читання рівнянь.