П'ять Платонових тіл — єдині опуклі многогранники, всі грані яких є конгруентними правильними многокутниками, а у кожній вершині зустрічається однакова кількість граней. Вони були класифіковані Платоном у діалозі Тімей (~360 р. до н.е.): тетраедр (4 рівносторонні трикутники), куб (6 квадратів), октаедр (8 трикутників), додекаедр (12 правильних п'ятикутників) та ікосаедр (20 трикутників). Те, що їх рівно п'ять, випливає із нерівності для двогранних кутів: сума внутрішніх кутів граней у вершині має бути менше 360°.
13 Архімедових тіл — напівправильні опуклі многогранники: кожна грань є правильним многокутником, але граней може бути кількох видів, а кожна вершина оточена однаково (вершинна транзитивність). Їх уперше перерахував Архімед (твір втрачено) та перевідкрив Кеплер у 1619 р. Усічений ікосаедр — 12 п'ятикутників і 20 шестикутників — це форма стандартного футбольного м'яча та молекули C60 бакмінстерфулерену.
Формула Ейлера V − E + F = 2 виконується для будь-якого опуклого многогранника (і будь-якого топологічно рівносильного сфері). Вперше доведена Ейлером у 1758 р., вона виражає ейлерову характеристику сфери. Кожне тіло в цій симуляції задовольняє її — перевірте на панелі статистики.
Запитання та відповіді
П'ять Платонових тіл: тетраедр (4 рівносторонні трикутники, V=4, E=6, F=4), куб або гексаедр (6 квадратів, V=8, E=12, F=6), октаедр (8 рівносторонніх трикутників, V=6, E=12, F=8), додекаедр (12 правильних п'ятикутників, V=20, E=30, F=12) та ікосаедр (20 рівносторонніх трикутників, V=12, E=30, F=20). Кожне тіло має однакові правильні многокутники як грані та однакову вершинну конфігурацію. Платон асоціював їх з вогнем, землею, повітрям, ефіром/космосом і водою.
Формула Ейлера V − E + F = 2 пов'язує кількість вершин (V), ребер (E) та граней (F) будь-якого опуклого многогранника. Для куба: V=8, E=12, F=6, отже 8−12+6=2. Для ікосаедра: V=12, E=30, F=20, отже 12−30+20=2. Формулу вперше довів Леонард Ейлер у 1758 р. Вона випливає з того, що будь-який опуклий многогранник топологічно рівносильний сфері з ейлеровою характеристикою 2.
Існує рівно 13 Архімедових тіл. Це опуклі многогранники з правильними многокутниковими гранями двох або більше видів та однаковими вершинами (вершинно-транзитивні). До них належать: усічений тетраедр, кубоктаедр, усічений куб, усічений октаедр, ромбокубоктаедр, усічений кубоктаедр, курносий куб, ікосидодекаедр, усічений додекаедр, усічений ікосаедр (футбольний м'яч), ромбоікосидодекаедр, усічений ікосидодекаедр та курносий додекаедр. Усі 13 задовольняють формулу Ейлера.
Платонові тіла мають лише один тип правильних многокутних граней (наприклад, усі рівносторонні трикутники або усі квадрати). Архімедові тіла мають два або більше типи правильних многокутних граней (наприклад, квадрати та трикутники), але кожна вершина оточена однаково — вони є вершинно-транзитивними. Обидві родини опуклі та високосиметричні. Архімедові тіла часто можна побудувати з Платонових через усічення (зрізання кутів), ректифікацію або завивання.
Кожний опуклий многогранник топологічно рівносильний сфері, ейлерова характеристика якої χ = 2. Класичний доказ: видаліть одну грань і розпластайте многогранник на площину. Отримаємо планарний граф. Потім видаляйте ребра між двома областями та «підрізайте» листові ребра (кожен крок зберігає V−E+F) до тих пір, поки не залишиться одна вершина (V=1, E=0, F=1, тобто 1−0+1=2). Отже, початкове V−E+F теж дорівнює 2.
Дуальний многогранник будується шляхом розміщення нової вершини в центрі кожної грані та з'єднання вершин, які відповідають сусіднім граням. Тетраедр самодуальний (дуальний до самого себе). Куб і октаедр є дуальними один до одного: куб має V=8, F=6, а октаедр — V=6, F=8 (кількості міняються місцями). Аналогічно дуальні додекаедр (V=20, F=12) та ікосаедр (V=12, F=20). Дуальні до Архімедових тіл — 13 тіл Каталана.
Традиційний 32-панельний футбольний м'яч має форму усіченого ікосаедра: починаючи з ікосаедра, зрізаємо кожну з 12 вершин, утворюючи правильний п'ятикутник у кожному зрізі. Результат — 12 п'ятикутників і 20 шестикутників (F=32), V=60, E=90, і 60−90+32=2. Ця ж геометрія описує молекулу C60 бакмінстерфулерен, яку назвали на честь Бакмінстера Фуллера.
П'ять Платонових тіл належать до трьох груп симетрії: тетраедр має повну тетраедральну симетрію T_d (порядок 24); куб і октаедр мають спільну повну октаедральну симетрію O_h (порядок 48); а додекаедр і ікосаедр мають спільну повну ікосаедральну симетрію I_h (порядок 120). Архімедові тіла успадковують ті ж три групи залежно від того, з якого Платонового тіла вони отримані усіченням або ректифікацією.
Так — для многогранників, топологічно не рівносильних сфері. Многогранник у формі тора (рід g=1) задовольняє V − E + F = 0. Загалом V − E + F = 2 − 2g, де g — рід (кількість ручок). Формула також не виконується для неорієнтовних поверхонь (як пляшка Кляйна) та для самоперетинних многогранників. 18 правильних зіркових многогранників (Кеплера–Пуансо) також порушують просту формулу.
Оберіть будь-яке тіло зі спадного меню та обертайте його клацанням-перетягуванням (або дотиком на мобільному). Читайте V, E, F з панелі статистики та підтверджуйте V − E + F = 2. Перемкніться на режим каркаса для перегляду скелета ребер. Використовуйте плоске затінення для виділення окремих граней. Спробуйте всі п'ять Платонових тіл, а потім усі 13 Архімедових — зверніть увагу, як кожне Архімедове тіло пов'язане з Платоновим через усічення, завивання або ректифікацію.