Трикутні · Квадратні · Шестикутні · Пенроуз «змій–дротик» · Панорамування
Тесселяція (або мозаїка) — це покриття площини геометричними фігурами без проміжків та перекриттів. Лише три правильні багатокутники можуть самостійно вкласти площину: рівносторонні трикутники, квадрати та правильні шестикутники. Мозаїка Пенроуза, відкрита Роджером Пенроузом у 1970-х, використовує дві форми («повітряний змій» та «дротик», пов'язані з золотим перетином) для створення аперіодичної мозаїки — такої, що ніколи не повторюється, але повністю заповнює площину, демонструючи 5-кратну симетрію.
У 2023 році було відкрито єдину фігуру — «ейнштейн» (нім. «один камінь»), 13-сторонній багатокутник, що аперіодично вкладає площину самостійно, розв'язавши 60-річну відкриту проблему. Мозаїки Пенроуза зустрічаються в природі як квазікристали, вперше виявлені 1982 року Даном Шехтманом (Нобелівська премія з хімії, 2011). Середньовічна ісламська архітектура в Ісфахані (1453) містить майже ідеальні Пенроуз-подібні візерунки — на п'ять століть раніше за роботу Пенроуза.
Цей симулятор малює тесселяції — покриття площини багатокутниками, що не залишають проміжків чи перекриттів. Він відтворює три правильні мозаїки (трикутну, квадратну та шестикутну), згенеровані рядок за рядком на 2D-полотні, а також знамениту мозаїку Пенроуза «змій–дротик», побудовану шляхом багаторазового підрозбиття трикутників з використанням золотого перетину φ ≈ 1,618. Правильні мозаїки періодичні, тоді як візерунок Пенроуза аперіодичний: він заповнює площину нескінченно, але ніколи не повторюється, демонструючи 5-кратну симетрію, заборонену у звичайних кристалах.
Чотири мозаїки, відтворені на полотні. Трикутна, квадратна та шестикутна мозаїки викладені на правильній ґратці. Мозаїка Пенроуза починається з десяти трикутників-половинок «змія», розташованих зіркою, а потім застосовує правило дефляції, що розщеплює кожен трикутник за допомогою поділів на 1/φ, тож візерунок «змій–дротик» стає тоншим на кожному кроці підрозбиття.
Оберіть мозаїку зі списку «Тип Мозаїки». Повзунок «Розмір плитки» (15–100) масштабує правильні мозаїки; «Глибина Пенроуза» (2–8) задає кількість проходів підрозбиття мозаїки Пенроуза. Перемикайте контури плиток, заливку кольором та мітки плиток (показують назви «Змій»/«Дротик»). Перетягуйте полотно для панорамування, натисніть «Перемалювати» для регенерації або «Скинути вигляд» для повторного центрування.
У 2023 році єдина 13-стороння фігура на прізвисько «ейнштейн» (нім. «один камінь») виявилася здатною аперіодично вкладати площину самостійно, розв'язавши 60-річну відкриту проблему про те, чи може існувати така одна плитка.
Тесселяція, або мозаїка, — це спосіб повністю покрити плоску площину однією чи кількома фігурами так, щоб не було ні проміжків, ні перекриттів. Серед правильних багатокутників лише рівносторонні трикутники, квадрати та правильні шестикутники можуть вкладати площину самостійно, оскільки їхні внутрішні кути рівно ділять 360 градусів.
Вона будується методом дефляції. Симуляція починається з десяти тонких трикутників (половинок «змія»), розташованих зіркою, а потім застосовує правило підрозбиття, що розщеплює кожен трикутник на менші частини «змій» і «дротик», розміщуючи нові вершини на відстанях, масштабованих на 1/φ, де φ — золотий перетин. Повзунок «Глибина Пенроуза» керує тим, скільки разів застосовується це підрозбиття.
«Тип Мозаїки» обирає між трикутним, квадратним, шестикутним візерунками та Пенроузом. «Розмір плитки» масштабує правильні мозаїки, тоді як «Глибина Пенроуза» задає кількість рекурсій для візерунка Пенроуза. Прапорці перемикають контури, заливку кольором та мітки «Змій»/«Дротик», а перетягування полотна панорамує вигляд.
Аперіодична мозаїка заповнює площину без жодного повторюваного трансляційного візерунка, тож її ніколи не можна зсунути так, щоб вона точно збіглася сама із собою. Частини «змій» і «дротик» з'єднуються за правилами відповідності, які примушують це неповторюване розташування, водночас демонструючи локальну 5-кратну симетрію, якої не можуть мати періодичні кристали.
Правильні мозаїки — це геометрично точні ґратки. Мозаїка Пенроуза використовує справжній метод дефляції, заснований на золотому перетині, тож її структура достовірна, хоча за малих глибин показано лише скінченну, наближену ділянку. Реальні квазікристали, відкриті Даном Шехтманом 1982 року, мають цю саму заборонену симетрію.