UK 
EnglishТипова
Polski⚛️ Квантове тунелювання
Одновимірне рівняння Шредінгера і тунелювання крізь бар'єр. Метод матриці переносу дає точний коефіцієнт проходження T(E) для прямокутного, подвійного та східчастого потенціалів.
Про цю симуляцію
Ця симуляція розв'язує одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера точно, використовуючи метод матриці переносу (TMM): потенціал розбивається на кусково-сталі сегменти — область вільного простору й область бар'єра — і кожен сегмент дає комплексну матрицю 2×2, що поширює амплітуду хвильової функції через нього. Множення цих матриць для всієї структури дає точні амплітуди відбиття й проходження, з яких без жодних наближень обчислюються ймовірність проходження T(E) та відбиття R(E) = 1 − T(E). Доступні три форми потенціалу: одиничний прямокутний бар'єр, подвійний бар'єр (резонансне тунелювання) та потенціальна сходинка.
🔬 Що показано
Лівий полотно показує густину ймовірності стаціонарного стану |ψ(x)|², яка проникає й спадає всередині бар'єра та знову з'являється з іншого боку зі зменшеною амплітудою; праве полотно показує точний коефіцієнт проходження T(E) у діапазоні енергій від 0 до 2V₀. Для одиничного прямокутного бар'єра T підпорядковується формулі у замкненому вигляді, обчисленій безпосередньо кодом матриці переносу, а не зчитаній з формули.
🎮 Як використовувати
Перетягуйте Energy E/V₀, щоб змінювати енергію частинки відносно висоти бар'єра — нижче 1.0 частинка класично заборонена, але все одно тунелює; вище 1.0 вона класично дозволена, але все одно частково відбивається. Регулюйте висоту бар'єра V₀ та ширину бар'єра, щоб побачити, як T спадає приблизно експоненційно з обома. Перемкніться на Double Barrier, щоб відкрити повзунок Gap width і побачити резонансне тунелювання: T зростає точно до 1.0 при дискретних енергіях, де в ямі між двома бар'єрами утворюється стояча хвиля — механізм, що лежить в основі резонансного тунельного діода.
💡 Чи знали ви?
Інформаційна панель також показує наближення ВКБ T ≈ e^(−2κd) поряд із точним значенням матриці переносу, тож можна безпосередньо побачити, наскільки близька (чи далека) проста експоненційна оцінка до справжнього квантово-механічного результату зі зміною ширини бар'єра й енергії.
Поширені запитання
Який чисельний метод використовує ця симуляція?
Вона використовує метод матриці переносу (TMM), застосований до стаціонарного одновимірного рівняння Шредінгера. Потенціал розбивається на кусково-сталі сегменти; кожен сегмент дає матрицю поширення, а кожна межа — узгоджувальну матрицю, побудовану з локальних хвильових чисел. Множення всіх цих матриць дає точну матрицю 2×2, що пов'язує амплітуди вхідної і вихідної хвиль, з якої без жодних наближень випливають коефіцієнт проходження T і коефіцієнт відбиття R = 1 − T.
Як можливе квантове тунелювання, якщо енергія частинки нижча за бар'єр?
У класично забороненій області (E < V₀) хвильова функція не осцилює, а експоненційно спадає з константою спаду κ = √(2m(V₀−E))/ℏ. Якщо бар'єр достатньо тонкий, хвильова функція не встигає спасти до нуля до дальнього краю, тож вона знову з'являється там як поширювана хвиля зі зменшеною, але ненульовою амплітудою — даючи ймовірність проходження T > 0, хоча класична частинка з такою самою енергією просто відбилася б назад.
Що таке резонансне тунелювання і чому T досягає точно 1?
У режимі Double Barrier область між двома бар'єрами діє як квантова яма. За певних енергій частинки хвиля, що відбивається туди-сюди всередині ями, інтерферує конструктивно, утворюючи стоячу хвилю — квазізв'язаний стан. При цих резонансних енергіях матриця переносу дає T = 1, тобто частинка проходить крізь обидва бар'єри з ідеальним проходженням, попри те що кожен бар'єр окремо блокує більшу частину хвилі. Цей ефект — принцип роботи резонансного тунельного діода.
Чому крива проходження T(E) виглядає інакше для режиму потенціальної сходинки?
Потенціальна сходинка має лише одну межу замість бар'єра скінченної ширини, тому немає області експоненційного спаду й відновлення — хвиля або поширюється (E > V₀, з частковим квантовим відбиттям на сходинці), або спадає в заборонену область і не може знову з'явитися (E < V₀, де T = 0 точно). Це дає криву з T = 0 для всіх E нижче V₀ і плавним зростанням до 1 вище неї, на відміну від режимів прямокутного та подвійного бар'єра, де T осцилює або відновлюється після класично забороненої області.
Які реальні фізичні системи покладаються на таке квантове тунелювання?
Та сама математика прямокутного й подвійного бар'єра, змодельована тут, описує альфа-розпад, коли альфа-частинка ядра тунелює крізь кулонівський бар'єр; сканувальний тунельний мікроскоп, де електрони тунелюють через вакуумний проміжок між гострим вістрям і поверхнею; резонансні тунельні діоди, які використовують квантову яму з подвійним бар'єром точно як у режимі Double Barrier цієї симуляції; та флеш-пам'ять, де електрони тунелюють крізь тонкий шар оксиду, щоб записати або стерти біт.