🌊 Квантовий хвильовий пакет

Гауссів хвильовий пакет — суперпозиція плоских хвиль exp(ikx), зважена гауссіаном у просторі імпульсів: ψ(x,0) = exp(ik₀x)·exp(−x²/(4σ₀²)). У вільній частинці з дисперсійним співвідношенням ω(k) = ħk²/(2m), різні частотні компоненти рухаються з різними фазовими швидкостями, викликаючи розширення пакету з часом. Центр пакету рухається зі груповою швидкістю v_g = ħk₀/m, тоді як гребені хвиль — з фазовою швидкістю v_φ = ħk₀/(2m). Принцип Гейзенберга: Δx·Δp ≥ ħ/2. 🇬🇧 English

Початкові умови

Групова шв. v_g—
Фазова шв. v_φ—
Довжина хвилі λ—
σ_x (ширина)—
σ/σ₀ розпливання—
Δx·Δp—
Час t—

Як працює дисперсія

Точний аналітичний розв'язок для вільної частинки: пакет розширюється як σ(t) = σ₀·√(1 + (ħt/(2mσ₀²))²), а його центр рухається як ⟨x⟩(t) = x₀ + (ħk₀/m)t. Щільність імовірності |ψ|² залишається гауссіаном у будь-який момент. Мінімальний добуток невизначеностей Δx·Δp = ħ/2 досягається лише при t=0; з часом він зростає через розширення пакету. Це суто квантово-механічний ефект без класичного аналогу — відображення хвильової природи матерії (співвідношення де Бройля λ = h/p).

Про цю симуляцію

Ця симуляція відтворює точний аналітичний розв'язок для вільного одновимірного гауссового хвильового пакета за допомогою GLSL-фрагментного шейдера — це не дискретизований розв'язувач рівняння Шрьодінгера. За заданими початковим імпульсом k₀, шириною σ₀ та масою m центр пакета рухається з груповою швидкістю v_g = ħk₀/m, а його ширина зростає як σ(t) = σ₀·√(1+τ²), де τ = ħt/(2mσ₀²) — безрозмірний час розпливання. Світна заповнена крива відображає щільність імовірності |ψ|², пік якої зменшується у σ₀/σ(t) разів, щоб повна ймовірність зберігалась при сплощенні пакета, тоді як кольорові смуги під нею показують швидше коливання несучої фази k₀(x−⟨x⟩)−ωt. Кожен запуск анімує 4 атомні одиниці фізичного часу протягом 7 секунд, після чого автоматично перезапускається від t=0.

🔬 Що показано

Шейдер малює два шари одночасно: зовнішня світна огинаюча — це щільність імовірності |ψ(x,t)|², яка зменшується за висотою й розширюється в міру розпливання пакета, а кольорові смуги під нею — забарвлені косинусом і синусом фази несучої — візуалізують швидше коливання Re(ψ) та Im(ψ) всередині цієї огинаючої. Панель статистики показує групову швидкість, фазову швидкість, довжину хвилі несучої λ=2π/k₀, поточну ширину σ_x, коефіцієнт розпливання σ/σ₀ та поточний добуток невизначеностей Δx·Δp.

🎮 Як користуватися

Перетягніть k₀, щоб змінити імпульс пакета (а отже, його групову швидкість і довжину хвилі несучої), σ₀ — щоб задати, наскільки локалізованим він починається, і Масу m — щоб змінити швидкість розпливання. Запуск / Перезапуск будь-коли повторно запускає пакет від t=0, а Пауза зупиняє анімацію, щоб роздивитися профіль і поточні значення статистики.

💡 Чи знали ви?

При t=0 пакет перебуває точно в мінімумі Гейзенберга, Δx·Δp = ħ/2 — найтіснішому компромісі між положенням і імпульсом, який допускає квантова механіка. Оскільки розкид імпульсу Δp = 1/(2σ₀) фіксується початковою шириною і ніколи не змінюється для вільної частинки, кожна додаткова частка розкиду за положенням σ(t) у міру розпливання пакета неухильно виштовхує Δx·Δp вище ħ/2 — саме це й демонструє живий показник «Δx·Δp» під час роботи симуляції.

Поширені запитання

Чому хвильовий пакет розпливається з часом?

Гауссів хвильовий пакет — це суперпозиція плоских хвиль із розкидом імпульсів навколо k₀. Для вільної частинки кожна імпульсна компонента k еволюціонує з власною фазою за дисперсійним співвідношенням ω(k)=ħk²/(2m), тож компоненти з різними k з часом розходяться за фазою. Їхнє повторне складання дає пакет, ширина якого зростає за формулою σ(t)=σ₀·√(1+τ²), де τ=ħt/(2mσ₀²) — саме цю формулу цей симулятор обчислює щокадру, щоб задати ширину огинаючої в шейдері.

У чому різниця між груповою та фазовою швидкістю тут?

Групова швидкість v_g=ħk₀/m — це швидкість, з якою рухається огинаюча пакета, а отже й пік |ψ|², і саме з такою швидкістю ви бачите переміщення світного профілю. Фазова швидкість v_φ=ħk₀/(2m) — рівно вдвічі менша: це швидкість окремих гребенів хвилі (коливання несучої) під огинаючою, тому кольорові смуги ніби ковзають крізь огинаючу, а не залишаються прив'язаними до її піку.

Чому висота піку зменшується в міру розпливання пакета?

Повна ймовірність — інтеграл |ψ|² по всьому простору — завжди має дорівнювати 1. У міру зростання ширини σ(t) шейдер масштабує пік густини множником σ₀/σ(t) (у коді це видно як envSq = exp(...) * (s0 / sigT)), щоб ширший, пласкіший горб все ще інтегрувався до тієї самої нормованої ймовірності, що й вужчий пакет на старті.

Чому Δx·Δp зростає вище ħ/2 у міру роботи симуляції?

Невизначеність імпульсу Δp=1/(2σ₀) фіксується в момент запуску пакета — розподіл імпульсу вільної частинки ніколи не змінюється з часом. Зростає лише невизначеність положення Δx=σ(t), тож добуток Δx·Δp монотонно зростає від свого мінімального значення ħ/2 при t=0. Показник «Δx·Δp» перераховується щокадру безпосередньо із σ(t), тож можна в реальному часі спостерігати, як мінімальна межа принципу невизначеності залишається позаду.

Чому анімація сама перезапускається кожні кілька секунд?

Кожен запуск відображає 4 атомні одиниці змодельованого фізичного часу на фіксовані 7 секунд анімації на екрані (константа LAUNCH_DURATION у коді). Щойно прогрес запуску досягає 1.0, симулятор автоматично скидає лічильник запуску й прогрес назад до нуля, тож пакет продовжує з'являтися у своїй початковій позиції та ширині без натискання «Запуск / Перезапуск» — ручне натискання цієї кнопки просто примусово скидає час до t=0 раніше.