UK 
EnglishТипова
Polski📐 Квантовий гармонічний осцилятор — хвильові функції та рівні енергії
Досліджуйте квантовий гармонічний осцилятор інтерактивно. Візуалізуйте хвильові функції ψ_n(x), густини ймовірності |ψ_n|², рівні енергії Eₙ = ℏω(n+½) та класичні точки повороту.
Про цю симуляцію
Ця симуляція відтворює точні власні стани квантового гармонічного осцилятора — моделі частинки в параболічному потенціалі V(x) = ½x² (у природних одиницях, де ħ = ω = m = 1). Кожна хвильова функція ψ_n(x) обчислюється безпосередньо з розв'язку у замкненому вигляді — поліном Ерміта H_n(x), помножений на гаусову обвідну e^(-x²/2) і нормований — для квантових чисел n від 0 до 10. Енергія кожного рівня — E_n = (n + ½)ħω, тож основний стан несе ненульову енергію нульових коливань ½ħω, а не перебуває на нулі, як класична частинка у спокої.
🔬 Що показано
Параболічний потенціал V(x) = ½x² намальований синім, а енергія обраного рівня показана пунктирною горизонтальною лінією на висоті E_n = n + ½. Червоні пунктирні вертикальні лінії позначають класичні точки повороту ±√(2n+1) — межу, яку класична кулька на цій пружині ніколи не могла б перетнути. Хвильова функція осцилятора ψ_n(x) або її густина ймовірності |ψ_n(x)|² будується навколо цієї лінії енергії, а показник ймовірності тунелювання наживо інтегрує |ψ_n|² за межами точок повороту.
🎮 Як використовувати
Перетягуйте повзунок квантового числа n (0-10), щоб переходити між власними станами й спостерігати, як кількість вузлів хвильової функції зростає рівно на один із кожним кроком. Використовуйте кнопки ψ(x), |ψ|² та Both, щоб перемикатися між чистою хвильовою функцією, її густиною ймовірності або накладенням обох. Натисніть «Show all n ≤ 10», щоб показати всі криві власних станів у потенціальній ямі одночасно, з виділеним обраним рівнем, щоб порівняти кількість вузлів і відстані між енергіями безпосередньо.
💡 Чи знали ви?
Оскільки основний стан (n = 0) є чистою гаусовою кривою без вузлів, це унікальний стан мінімальної невизначеності, дозволений принципом невизначеності Гайзенберга. Зі зростанням n густина ймовірності накопичується біля класичних точок повороту — саме там, де класична маса на пружині рухається найповільніше — це принцип відповідності квантового й класичного в дії, безпосередньо видимий у режимі «Show all».
Поширені запитання
Що саме обчислює ця симуляція?
Вона обчислює точні аналітичні власні стани одновимірного квантового гармонічного осцилятора для квантових чисел n від 0 до 10, використовуючи природні одиниці, де ħ = ω = m = 1. Кожна хвильова функція — ψ_n(x) = N_n · H_n(x) · e^(-x²/2), де H_n — поліном Ерміта, обчислений стандартною тричленною рекурентною формулою, а N_n = 1/√(2ⁿn!√π) — нормувальна константа, тож жодного чисельного розв'язувача диференціальних рівнянь не використовується — криві є підручниковими розв'язками у замкненому вигляді.
Чому енергія основного стану не дорівнює нулю?
Рівні енергії підпорядковуються формулі E_n = (n + ½)ħω, тож навіть найнижчий стан n = 0 має енергію ½ħω, а не нуль. Ця енергія нульових коливань — пряме наслідок принципу невизначеності Гайзенберга: частинка, обмежена потенціальною ямою, не може мати одночасно нульовий розкид положення й нульовий розкид імпульсу, тож вона ніколи не може бути абсолютно нерухомою на дні ями.
Що означають пунктирні лінії на графіку?
Пунктирна горизонтальна лінія позначає енергію E_n = n + ½ (в одиницях ħω) обраного стану. Пунктирні вертикальні лінії позначають класичні точки повороту при x = ±√(2n+1) — положення, де класична частинка з такою самою повною енергією миттєво зупинилася б і повернула назад, оскільки вся її енергія в цій точці стала потенціальною.
Що означає показник ймовірності тунелювання?
Симуляція чисельно інтегрує густину ймовірності |ψ_n(x)|² за межами класичних точок повороту й ділить її на повну ймовірність, даючи частку ймовірності квантової частинки, що лежить у класично забороненій області. Ця ймовірність найбільша для основного стану і швидко зменшується зі зростанням n, оскільки стани з вищою енергією стають більш класичними за характером.
Чому важлива кількість вузлів?
Хвильова функція ψ_n(x) n-го власного стану перетинає нуль рівно n разів, тож кількість вузлів безпосередньо визначає квантове число: основний стан (n = 0) не має вузлів і є одним гаусовим горбом, тоді як кожен наступний стан додає ще один вузол і ще одне коливання. Це правило підрахунку вузлів — загальна риса власних функцій зв'язаних станів в одному вимірі, не специфічна для гармонічного осцилятора.