UK 
EnglishТипова
Polski🌡️ Рівняння Теплопровідності Фур'є — Дифузія та Граничні Умови
Розв'язання 1D рівняння теплопровідності методом скінченних різниць. Граничні умови Діріхле та Неймана, дифузія тепла та загасання мод.
Фізика та рівняння
Одновимірне рівняння теплопровідності: ∂T/∂t = α·∂²T/∂x². Явна схема скінченних різниць: T_i^(n+1) = T_i^n + r·(T_{i+1}^n − 2T_i^n + T_{i-1}^n), де r = α·dt/dx². Стійкість вимагає r ≤ 0.5. Аналітичний розв'язок: T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t).
Граничні умови
Діріхле (фіксована температура): кінці стрижня утримуються при сталій температурі — немов металевий стрижень, кінці якого занурено в крижану воду й окріп. Неймана (ізольовані): відсутній тепловий потік крізь кінці — градієнт температури на межах дорівнює нулю. Періодична: стрижень згортається сам у себе, немов кільце.
Розклад Фур'є
Будь-який початковий розподіл температури можна розкласти на синусоїдальні моди T(x,0) = Σ aₙ·sin(nπx/L). Вищі моди (більше n) згасають експоненційно швидше: амплітуда ~ e^(−n²t). Саме тому тепло поширюється й згладжується — дрібномасштабні особливості зникають першими, залишаючи лише найповільніше згасаючу фундаментальну моду.
Про цю симуляцію
Ця симуляція чисельно розв'язує одновимірне рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² на стрижні зі 200 точок за допомогою явної схеми скінченних різниць. Ви обираєте початковий профіль температури та граничну умову, а потім спостерігаєте, як тепло дифундує та згладжується в реальному часі. Стовпчикова діаграма в реальному часі розкладає криву температури на перші п'ять синусоїдальних мод Фур'є, наочно показуючи, чому високочастотні особливості зникають найшвидше.
🔬 Що це показує
Стрижень зі 200 вузлів сітки, що еволюціонує за формулою T_i^(n+1) = T_i^n + r·(T_{i+1} − 2T_i + T_{i-1}), де r = α·dt/dx², а dt обирається автоматично на рівні 80% від межі стійкості (r ≤ 0.5). Кольорова смуга та графік профілю відображають один і той самий масив температур; окрема стовпчикова діаграма показує величину синусоїдальних мод Фур'є n = 1–5, отриманих з поточного профілю.
🎮 Як користуватися
Встановіть повзунок Thermal Diffusivity α (0.01–0.5), оберіть початкову умову (Gaussian Pulse, Step Function, Sine Wave, Hot End) і тип граничної умови (Dirichlet — фіксована температура, Neumann — ізольований, або Periodic), тоді натисніть Run. Чотири кнопки пресетів завантажують готові комбінації — спробуйте Hot End із Dirichlet, щоб побачити, як фронт тепла поширюється від одного кінця, або Periodic із синусоїдою, щоб побачити чисте згасання однієї моди.
💡 Чи знали ви?
Діаграма мод Фур'є — не просто прикраса: це той самий синусоїдальний розклад, який Жозеф Фур'є запропонував у 1822 році саме для розв'язання цього рівняння. Оскільки кожна мода n згасає як e^(−(nπ/L)²·α·t), вищі моди зникають приблизно в n² разів швидше за фундаментальну, тому будь-який нерівний початковий профіль завжди релаксує до єдиного гладкого вигину.
Поширені запитання
Яке рівняння насправді розв'язує ця симуляція?
Вона розв'язує одновимірне рівняння теплопровідності (дифузії) ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² на стрижні зі 200 вузлів сітки, використовуючи явну схему скінченних різниць: кожне нове значення температури дорівнює старому значенню плюс поправка, пропорційна кривизні сусідніх точок, масштабована коефіцієнтом r = α·dt/dx². Крок часу dt перераховується з температуропровідності α і автоматично фіксується на рівні 80% від межі стійкості (r ≤ 0.5), тож симуляція ніколи не «вибухає», незалежно від того, як встановлено повзунок температуропровідності.
Що фізично означають три граничні умови?
Діріхле утримує обидва кінці стрижня при фіксованій температурі — 1.0 на гарячому кінці для пресету «Hot End», 0.0 в інших випадках — немов стрижень, кінці якого затиснуті між нагрівачем і крижаною ванною. Неймана задає нульовий градієнт температури на кожному кінці (T_new[0]=T_new[1], T_new[N-1]=T_new[N-2]), моделюючи ідеально ізольований стрижень, який не може обмінюватися теплом з навколишнім середовищем. Періодична умова згортає стрижень у кільце, тож тепло, яке мало б вийти з правого кінця, знову входить зліва.
Як повзунок Thermal Diffusivity змінює поведінку?
Повзунок α (діапазон від 0.01 до 0.5) визначає, наскільки швидко поширюється тепло: він з'являється безпосередньо в оновленні скінченних різниць і в автоматично обчисленому кроці часу dt = 0.8 × 0.4 × dx² / α. Більший α згладжує профіль температури швидше в симульованому часі, а оскільки dt масштабується обернено пропорційно α, симуляція також проходить більше фізичного часу за кадр при високій температуропровідності.
Що представляють чотири початкові умови?
Gaussian Pulse починається з дзвоноподібної гарячої плями по центру стрижня; Step Function починається як пласка гаряча ділянка між x=0.3 та x=0.7; Sine Wave починається як одна половина періоду синусоїди, що є чистою модою Фур'є і тому найпростішим випадком для спостереження за згасанням; Hot End затискає лише крайні 5% стрижня зліва до максимальної температури, моделюючи один кінець, притиснутий до джерела тепла.
Чому важливий графік мод Фур'є і як він обчислюється?
Для кожної моди n від 1 до 5 симуляція чисельно інтегрує поточний масив температур відносно sin(nπx/L), щоб отримати амплітуду цієї моди — саме дискретний варіант коефіцієнта ряду синусів Фур'є. Це важливо, тому що точний аналітичний розв'язок рівняння теплопровідності — T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t): кожна мода згасає експоненційно, причому вищі n згасають значно швидше, що є саме тією поведінкою згладжування, яку видно на графіках стрижня та профілю.