Розв'яжіть рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² чисельно. Спостерігайте еволюцію профілів температури з умовами Діріхле/Неймана/періодичними. Побачте збіжність рядів Фур'є в реальному часі.
1D рівняння теплопровідності: ∂T/∂t = α·∂²T/∂x². Явна скінченно-різницева схема: T_i^(n+1) = T_i^n + r·(T_{i+1}^n − 2T_i^n + T_{i-1}^n), де r = α·dt/dx². Стійкість: r ≤ 0.5. Аналітичний розв'язок: T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t).
Діріхле (фіксована температура): кінці стрижня утримуються при постійній температурі. Нейман (ізольований): немає теплового потоку через кінці — градієнт температури нульовий на межах. Періодична: стрижень замикається в кільце.
Будь-який початковий розподіл температури можна розкласти по синусним модам. Вищі моди (більше n) загасають експоненційно швидше: амплітуда ~ e^(−n²t). Саме тому тепло розподіляється і вирівнюється — дрібномасштабні деталі зникають першими.