🌡️ Розподіл температур

Візуалізуйте, як температура розподіляється вздовж стрижнів і пластин за різних граничних умов. Порівняйте числові (МСР) розв'язки з точними аналітичними результатами, спостерігайте за нестаціонарною еволюцією температурного поля.

🇬🇧 English

Режим

Граничні умови

Статистика

T середня—
T макс—
T мін—
Число Фур'є Fo—
Чисельний
Аналітичний

Теорія теплопровідності

Стаціонарний стан (без джерела): T(x) = TL + (TR−TL)·x/L — лінійний профіль. З рівномірним об'ємним джерелом Q: T(x) = TL + (TR−TL)·x/L + Q/(2k)·x(L−x) — параболічний. Нестаціонарний: ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² розв'язується явним МСР. Число Фур'є Fo = α·t/L² — безрозмірний час; при Fo ≈ 0.2 розв'язок наближається до стаціонарного. Ребро охолодження: d²θ/dx² − m²θ = 0, m² = hP/(kA), θ = T−T∞, розв'язок θ(x) = θb·cosh[m(L−x)]/cosh(mL).

Про цю симуляцію

Ця симуляція розв'язує рівняння теплопровідності вздовж стрижня у трьох режимах: Steady (рівноважний профіль температури), Transient (нестаціонарна дифузія через явний різницевий розв'язувач) та Fin (стрижень, що втрачає тепло в оточення через конвекцію). Кожна чисельна крива малюється поруч із точним аналітичним розв'язком, тож видно, наскільки дискретизована модель відповідає реальній фізиці.

🔬 Що показано

Режим Steady малює лінійний аналітичний профіль T(x) між T_left і T_right з опціональним джерелом тепла Q. Transient покроково розв'язує явну FDM-схему ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² та накладає аналітичний розв'язок у вигляді ряду Фур'є. Fin використовує експоненційний розв'язок для охолоджувального ребра, керований числом Біо Bi.

🎮 Як користуватись

Перемикайте режими кнопками Steady / Transient / Fin. Тягніть T_left і T_right для задання граничних температур, Source Q для внутрішнього нагрівання чи охолодження, Diffusivity α для зміни швидкості поширення тепла, і Biot Bi (режим Fin) для сили конвективних втрат. Reset перезапускає розрахунок, а число Фур'є Fo відстежує безрозмірний час.

💡 Чи знали ви?

Число Фур'є Fo = α·t/L² — ключовий безрозмірний параметр у нестаціонарній теплопровідності: коли Fo перевищує приблизно 0.2-0.3, стрижень достатньо близький до стаціонарного профілю, тож вищі члени ряду Фур'є стають знехтуваними — саме тому інженери використовують Fo, щоб оцінити безпечність "квазістаціонарного" наближення.

Часті запитання

У чому різниця між чисельною та аналітичною кривими?

Чисельна крива походить із явного методу скінченних різниць (FDM), що покроково розв'язує рівняння теплопровідності малими часовими кроками на дискретизованій сітці. Аналітична крива — це точний розв'язок у замкненій формі (лінійний для сталого стану, ряд Фур'є для нестаціонарного, експоненційний для ребра). Порівняння показує, наскільки точно чисельна схема наближає справжню фізику.

Що означає число Фур'є Fo?

Fo = α·t/L² — безрозмірна міра часу, що минув, відносно масштабу часу дифузії L²/α. Мале Fo означає, що тепло ледь встигло розпливтися від початкового розподілу; Fo, що наближається до 1 і більше, означає, що стрижень практично досяг стаціонарного профілю температури.

Чому число Біо важливе в режимі Fin?

Число Біо Bi порівнює конвективні втрати тепла на поверхні ребра з кондуктивним потоком тепла всередині нього. Низьке Bi означає, що домінує кондукція, і ребро лишається майже однорідним за температурою; високе Bi означає, що ребро швидко втрачає тепло в оточення, і його температура різко падає вздовж довжини.

Що станеться, якщо задати Source Q не нулем?

Ненульове Q додає рівномірне внутрішнє виділення тепла (додатне) чи його вилучення (від'ємне) вздовж стрижня, що вигинає стаціонарний профіль температури з прямої лінії в параболу — той самий ефект, що спостерігається в дротах під струмом (нагрівання Джоуля) чи паливних стрижнях.

Чому збільшення дифузійності α прискорює нестаціонарну відповідь?

α = k/(ρc) вимірює, наскільки швидко тепло поширюється в матеріалі відносно кількості енергії, потрібної для зміни його температури. Вище α означає, що той самий крок часу явної FDM-схеми дає швидше вирівнювання, тож нестаціонарна крива сходиться до стаціонарного профілю за менше змодельованих секунд.