🇬🇧 English

🌡️ Розподіл Максвелла-Больцмана

N пружних молекул у коробці з дзеркальними стінками. Жива гістограма швидкостей накопичується та збігається з теоретичним розподілом f(v) = 4π(m/2πkT)^(3/2) v² exp(−mv²/2kT).

Параметри газу

Статистика

vп (найімовірніша)–
⟨v⟩ (середня)–
vкс (СКЗ)–
⟨KE⟩ / моль–
Тиск P–

Шаблони

Що демонструє

Розподіл Максвелла-Больцмана — це розподіл імовірності молекулярних швидкостей в ідеальному газі при термодинамічній рівновазі. Він випливає зі статистичної механіки і визначає три характерні швидкості: vп (найімовірніша), ⟨v⟩ (середня) та vкс (середньоквадратична). Вища температура або менша маса зміщують розподіл до більших швидкостей.

Як використовувати

Чи знали ви?

При температурі 300 К молекули водню (H₂) мають середню швидкість ~1 700 м/с — достатньо, щоб повільно покидати гравітаційне поле Землі за геологічні терміни. Саме тому в атмосфері так мало водню. Молекули кисню (O₂) рухаються зі швидкістю ~480 м/с — значно нижче за другу космічну.

Про цю симуляцію

Ця симуляція показує N пружних молекул газу, що рухаються в двовимірній коробці з дзеркальними стінками, і водночас будує живу гістограму їхніх швидкостей. Кожна частинка отримує початкову швидкість за гаусовим розподілом (через перетворення Бокса-Мюллера) з дисперсією, що залежить від температури T і маси m, а потім просто відбивається від стінок кожен кадр. Коли накопичується достатньо кадрів, виміряна гістограма збігається з теоретичним розподілом швидкостей Максвелла-Больцмана f(v) = 4π(m/2πkT)^(3/2)·v²·exp(−mv²/2kT), який малюється червоною кривою поверх синіх стовпців виміряних даних.

🔬 Що це показує

N частинок масою m при температурі T рухаються в коробці з пружними зіткненнями об стінки. Жива гістограма (сині стовпці) виміряних швидкостей порівнюється кадр за кадром з теоретичною кривою Максвелла-Больцмана (червона лінія), розрахованою для тих самих T і m, з позначками найімовірнішої швидкості vₚ, середньої швидкості ⟨v⟩ та середньоквадратичної швидкості v_кс.

🎮 Як користуватись

Пересувайте повзунок Температура T (100–2000 К), щоб нагрівати або охолоджувати газ, повзунок Маса частинки m (1–200 а.о.м.), щоб перемикатися між легкими й важкими молекулами, та повзунок Кількість N (30–300), щоб змінити розмір вибірки. Кнопки шаблонів (H₂, He, N₂, O₂, CO₂, Pb) одразу переносять до реальних газів за реалістичних температур, а кнопка ↺ Перемішати заново розкидає всі частинки й швидкості та очищає гістограму.

💡 Чи знали ви?

Три характерні швидкості завжди перебувають у співвідношенні vₚ : ⟨v⟩ : v_кс = √2 : √(8/π) : √3, незалежно від температури чи маси — змінюється лише їхній абсолютний масштаб, пропорційний √(T/m). Саме тому молекули водню (H₂) за 300 К рухаються майже вчетверо швидше за важчі молекули кисню (O₂) при тій самій температурі.

Часті запитання

Що таке розподіл Максвелла-Больцмана?

Це розподіл імовірності молекулярних швидкостей в ідеальному газі при термодинамічній рівновазі, виведений зі статистичної механіки. Для газу при температурі T з молекулярною масою m частка молекул зі швидкістю поблизу v пропорційна v²·exp(−mv²/2kT), де k — стала Больцмана. Ця симуляція малює цю криву червоним і накладає на неї реальну виміряну гістограму швидкостей синім, щоб ви могли в реальному часі побачити, як змодельовані молекули відтворюють теорію.

Як симуляція генерує початкові швидкості частинок?

Компоненти швидкості vx і vy кожної частинки вибираються незалежно з гаусового розподілу за допомогою перетворення Бокса-Мюллера, зі стандартним відхиленням σ = √(kT/m). Це саме та статистична процедура, яка дає розподіл швидкостей Максвелла-Больцмана, щойно розглянути величину √(vx²+vy²) багатьох таких векторів швидкості — а саме це й вимірює гістограма.

Що насправді змінюють Температура, маса та кількість частинок?

Температура T і маса частинки m обидві напряму входять у формулу теплової швидкості σ = √(kT/m): підвищення T або зменшення m збільшує середню швидкість, зсуваючи всю гістограму й теоретичну криву праворуч і розширюючи їх. Кількість частинок N не змінює форму розподілу, а лише кількість точок даних у гістограмі та швидкість, з якою вона стабілізується до гладкої кривої.

Чому частинки відбиваються лише від стінок, а не одна від одної?

Щоб зберегти високу частоту кадрів із сотнями частинок, ця симуляція реалізує лише зіткнення зі стінками (пружне відбиття, що змінює знак vx або vy), а не зіткнення частинок між собою. Це прийнятне наближення для розрідженого ідеального газу, де маса частинок, розмір і постійне перегенерування швидкостей уже відтворюють правильний рівноважний розподіл швидкостей без явного моделювання кожного зіткнення.

Що означають vₚ, ⟨v⟩ і v_кс, і чому вони різні?

vₚ — це найімовірніша швидкість (пік кривої), ⟨v⟩ — середня швидкість, усереднена по всіх молекулах, а v_кс — середньоквадратична швидкість, яку використовують для обчислення кінетичної енергії й тиску. Вони різняться, бо розподіл Максвелла-Больцмана асиметричний, а не симетричний: завжди v_кс > ⟨v⟩ > vₚ, у фіксованому співвідношенні √3 : √(8/π) : √2.